Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = y^{2}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung so um, dass sie der Bernoulli-Technik entspricht.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $y$ aus $\frac{y}{x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = y^{2}$

Schritt 1.2

Stelle $y$ und $\frac{1}{x}$ um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = y^{2}$

Schritt 2

Um die Differentialgleichung zu lösen, sei $v = y^{1 - n}$ wo $n$ der Exponent von $y^{2}$ ist.

$v = y^{- 1}$

Schritt 3

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

$y = v^{- 1}$

Schritt 4

Nimm die Ableitung von $y$ in Gedenken an $x$ .

$y' = v^{- 1}$

Schritt 5

Nimm die Ableitung von $v^{- 1}$ in Gedenken an $x$ .

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Schritt 5.1

Nimm die Ableitung von $v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

Schritt 5.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

Schritt 5.3

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1$ und $g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 5.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 5.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 5.4.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.4.3.1

Mutltipliziere $v$ mit $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 5.4.3.2

Subtrahiere $\frac{d}{d x} [v]$ von $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 5.4.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 5.5

Schreibe $\frac{d}{d x} [v]$ als $v'$ um.

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

Schritt 6

Setze $- \frac{v'}{v^{2}}$ für $\frac{d y}{d x}$ und $v^{- 1}$ für $y$ in die ursprüngliche Gleichung $\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = y^{2}$ ein.

$- \frac{v'}{v^{2}} + \frac{1}{x} v^{- 1} = {(v^{- 1})}^{2}$

Schritt 7

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 7.1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ um.

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Schritt 7.1.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{1}{x} v^{- 1} = {(v^{- 1})}^{2}$ mit $- v^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 7.1.1.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{1}{x} v^{- 1} = {(v^{- 1})}^{2}$ mit $- v^{2}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 7.1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.1.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v^{2}$ .

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Schritt 7.1.1.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 7.1.1.2.1.1.2

Faktorisiere $v^{2}$ aus $- v^{2}$ heraus.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 7.1.1.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 7.1.1.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 7.1.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 7.1.1.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{d v}{d x}$ mit $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 7.1.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v^{- 1} v^{2} = {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 7.1.1.2.1.5

Multipliziere $v^{- 1}$ mit $v^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.1.1.2.1.5.1

Bewege $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} (v^{2} v^{- 1}) = {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 7.1.1.2.1.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v^{2 - 1} = {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 7.1.1.2.1.5.3

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v^{1} = {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 7.1.1.2.1.6

Vereinfache $- \frac{1}{x} v^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v = {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 7.1.1.2.1.7

Kombiniere $v$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 7.1.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.1.1.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - {(v^{- 1})}^{2} v^{2}$

Schritt 7.1.1.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(v^{- 1})}^{2}$ .

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Schritt 7.1.1.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - v^{- 1 \cdot 2} v^{2}$

Schritt 7.1.1.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - v^{- 2} v^{2}$

Schritt 7.1.1.3.3

Multipliziere $v^{- 2}$ mit $v^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.1.1.3.3.1

Bewege $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - (v^{2} v^{- 2})$

Schritt 7.1.1.3.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - v^{2 - 2}$

Schritt 7.1.1.3.3.3

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - v^{0}$

Schritt 7.1.1.3.4

Vereinfache $- v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - 1$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere $v$ aus $- \frac{v}{x}$ heraus.

$\frac{d v}{d x} + v (- \frac{1}{x}) = - 1$

Schritt 7.1.3

Stelle $v$ und $- \frac{1}{x}$ um.

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v = - 1$

Schritt 7.2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = - \frac{1}{x}$ gilt.

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Schritt 7.2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Schritt 7.2.2

Integriere $- \frac{1}{x}$ .

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Schritt 7.2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 7.2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 7.2.2.3

Vereinfache.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Schritt 7.2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- \ln (x)}$

Schritt 7.2.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Schritt 7.2.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x^{- 1}$

Schritt 7.2.6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Schritt 7.3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x}$ .

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Schritt 7.3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} \cdot - 1$

Schritt 7.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $\frac{d v}{d x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} \cdot - 1$

Schritt 7.3.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} \cdot - 1$

Schritt 7.3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{v}{x} = \frac{1}{x} \cdot - 1$

Schritt 7.3.2.4

Multipliziere $- \frac{1}{x} \cdot \frac{v}{x}$ .

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Schritt 7.3.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{v}{x}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x \cdot x} = \frac{1}{x} \cdot - 1$

Schritt 7.3.2.4.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1} x} = \frac{1}{x} \cdot - 1$

Schritt 7.3.2.4.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} \cdot - 1$

Schritt 7.3.2.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} \cdot - 1$

Schritt 7.3.2.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{1}{x} \cdot - 1$

Schritt 7.3.3

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $- 1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{- 1}{x}$

Schritt 7.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = - \frac{1}{x}$

Schritt 7.4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} v] = - \frac{1}{x}$

Schritt 7.5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} v] d x = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 7.6

Integriere die linke Seite.

$\frac{1}{x} v = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 7.7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.7.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{x} v = - \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 7.7.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{x} v = - (\ln (| x |) + C)$

Schritt 7.7.3

Vereinfache.

$\frac{1}{x} v = - \ln (| x |) + C$

Schritt 7.8

Löse nach $v$ auf.

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Schritt 7.8.1

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $v$ .

$\frac{v}{x} = - \ln (| x |) + C$

Schritt 7.8.2

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$\frac{v}{x} x = (- \ln (| x |) + C) x$

Schritt 7.8.3

Vereinfache.

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Schritt 7.8.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 7.8.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{v}{x} x = (- \ln (| x |) + C) x$

Schritt 7.8.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$v = (- \ln (| x |) + C) x$

Schritt 7.8.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.8.3.2.1

Vereinfache $(- \ln (| x |) + C) x$ .

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Schritt 7.8.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$v = - \ln (| x |) x + C x$

Schritt 7.8.3.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.8.3.2.1.2.1

Stelle die Faktoren in $- \ln (| x |) x + C x$ um.

$v = - x \ln (| x |) + C x$

Schritt 7.8.3.2.1.2.2

Stelle $- x \ln (| x |)$ und $C x$ um.

$v = C x - x \ln (| x |)$

Schritt 8

Ersetze $v$ durch $y^{- 1}$ .

$y^{- 1} = C x - x \ln (| x |)$