Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 6 x (y^{2} + 1)$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} (6 x (y^{2} + 1))$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{1}{y^{2} + 1} (x (y^{2} + 1))$

Schritt 1.2.2

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y^{2} + 1} (x (y^{2} + 1))$

Schritt 1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2} + 1$ .

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Schritt 1.2.3.1

Faktorisiere $y^{2} + 1$ aus $x (y^{2} + 1)$ heraus.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y^{2} + 1} ((y^{2} + 1) x)$

Schritt 1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y^{2} + 1} ((y^{2} + 1) x)$

Schritt 1.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = 6 x$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = 6 x d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int 6 x d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1.1

Stelle $y^{2}$ und $1$ um.

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int 6 x d x$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int 6 x d x$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ nach $y$ ist $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int 6 x d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$\arctan (y) + C_{1} = 6 \int x d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ als $6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ um.

$\arctan (y) + C_{1} = 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.2.1

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{6}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 2.3.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.3.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{3}{1} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = 3 x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\arctan (y) = 3 x^{2} + K$

Schritt 3

Ziehe den inversen Arkustangens auf beiden Seiten der Gleichung, um $y$ aus dem Inneren des Arkustangens zu extrahieren.

$y = \tan (3 x^{2} + K)$