Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = y (1 - e^{2 x})$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (1 - e^{2 x}))$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (1 - e^{2 x}))$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 1 - e^{2 x}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y} d y = (1 - e^{2 x}) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 1 - e^{2 x} d x$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 1 - e^{2 x} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int d x + \int - e^{2 x} d x$

Schritt 2.3.2

Wende die Konstantenregel an.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \int - e^{2 x} d x$

Schritt 2.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - \int e^{2 x} d x$

Schritt 2.3.4

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.4.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.4.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.3.4.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 2.3.4.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 2.3.4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.3.5

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Schritt 2.3.6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Schritt 2.3.7

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - \frac{1}{2} (e^{u} + C_{3})$

Schritt 2.3.8

Vereinfache.

$\ln (| y |) + C_{1} = x - \frac{1}{2} e^{u} + C_{4}$

Schritt 2.3.9

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x - \frac{1}{2} e^{2 x} + C_{4}$

Schritt 2.3.10

Stelle die Terme um.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} e^{2 x} + x + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} e^{2 x} + x + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{1}{2} e^{2 x} + x + C}$

Schritt 3.2

Schreibe $\ln (| y |) = - \frac{1}{2} e^{2 x} + x + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{2} e^{2 x} + x + C} = | y |$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $| y | = e^{- \frac{1}{2} \cdot e^{2 x} + x + C}$ um.

$| y | = e^{- \frac{1}{2} \cdot e^{2 x} + x + C}$

Schritt 3.3.2

Kombiniere $e^{2 x}$ und $\frac{1}{2}$ .

$| y | = e^{- \frac{e^{2 x}}{2} + x + C}$

Schritt 3.3.3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \frac{e^{2 x}}{2} + x + C}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Schreibe $e^{- \frac{e^{2 x}}{2} + x + C}$ als $e^{- \frac{e^{2 x}}{2} + x} e^{C}$ um.

$y = \pm e^{- \frac{e^{2 x}}{2} + x} e^{C}$

Schritt 4.2

Stelle $e^{- \frac{e^{2 x}}{2} + x}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{e^{2 x}}{2} + x}$

Schritt 4.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C e^{- \frac{e^{2 x}}{2} + x}$