Analysis Beispiele

$(y + 2) d x + (x - 2) d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $(y + 2) d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$(x - 2) d y = - (y + 2) d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{(x - 2) (y + 2)}$ .

$\frac{1}{(x - 2) (y + 2)} (x - 2) d y = \frac{1}{(x - 2) (y + 2)} (- (y + 2)) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2$ .

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{(x - 2) (y + 2)} (x - 2) d y = \frac{1}{(x - 2) (y + 2)} (- (y + 2)) d x$

Schritt 3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{1}{(x - 2) (y + 2)} (- (y + 2)) d x$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{y + 2} d y = - \frac{1}{(x - 2) (y + 2)} (y + 2) d x$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 2$ .

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Schritt 3.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{(x - 2) (y + 2)}$ in den Zähler.

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{- 1}{(x - 2) (y + 2)} (y + 2) d x$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $y + 2$ aus $(x - 2) (y + 2)$ heraus.

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{- 1}{(y + 2) (x - 2)} (y + 2) d x$

Schritt 3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{- 1}{(y + 2) (x - 2)} (y + 2) d x$

Schritt 3.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{- 1}{x - 2} d x$

Schritt 3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{y + 2} d y = - \frac{1}{x - 2} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y + 2} d y = \int - \frac{1}{x - 2} d x$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Sei $u_{1} = y + 2$ . Dann ist $d u_{1} = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Es sei $u_{1} = y + 2$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Differenziere $y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

Schritt 4.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y + 2$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Schritt 4.2.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

Schritt 4.2.1.1.4

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 4.2.1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 4.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{x - 2} d x$

Schritt 4.2.2

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x - 2} d x$

Schritt 4.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y + 2$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x - 2} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x - 2} d x$

Schritt 4.3.2

Sei $u_{2} = x - 2$ . Dann ist $d u_{2} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 4.3.2.1

Es sei $u_{2} = x - 2$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Differenziere $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Schritt 4.3.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 4.3.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 4.3.2.1.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 4.3.2.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 4.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 4.3.3

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Schritt 4.3.4

Vereinfache.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Schritt 4.3.5

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x - 2$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \ln (| x - 2 |) + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y + 2 |) = - \ln (| x - 2 |) + C$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| y + 2 |) + \ln (| x - 2 |) = C$

Schritt 5.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y + 2 | | x - 2 |) = C$

Schritt 5.3

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$\ln (| (y + 2) (x - 2) |) = C$

Schritt 5.4

Multipliziere $(y + 2) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| y (x - 2) + 2 (x - 2) |) = C$

Schritt 5.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| y x + y \cdot - 2 + 2 (x - 2) |) = C$

Schritt 5.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| y x + y \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2 |) = C$

Schritt 5.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.1

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $y$ .

$\ln (| y x - 2 \cdot y + 2 x + 2 \cdot - 2 |) = C$

Schritt 5.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\ln (| y x - 2 y + 2 x - 4 |) = C$

Schritt 5.6

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y x - 2 y + 2 x - 4 |)} = e^{C}$

Schritt 5.7

Schreibe $\ln (| y x - 2 y + 2 x - 4 |) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y x - 2 y + 2 x - 4 |$

Schritt 5.8

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.8.1

Schreibe die Gleichung als $| y x - 2 y + 2 x - 4 | = e^{C}$ um.

$| y x - 2 y + 2 x - 4 | = e^{C}$

Schritt 5.8.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y x - 2 y + 2 x - 4 = \pm e^{C}$

Schritt 5.8.3

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.8.3.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y x - 2 y - 4 = \pm e^{C} - 2 x$

Schritt 5.8.3.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y x - 2 y = \pm e^{C} - 2 x + 4$

Schritt 5.8.4

Faktorisiere $y$ aus $y x - 2 y$ heraus.

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Schritt 5.8.4.1

Faktorisiere $y$ aus $y x$ heraus.

$y (x) - 2 y = \pm e^{C} - 2 x + 4$

Schritt 5.8.4.2

Faktorisiere $y$ aus $- 2 y$ heraus.

$y (x) + y \cdot - 2 = \pm e^{C} - 2 x + 4$

Schritt 5.8.4.3

Faktorisiere $y$ aus $y (x) + y \cdot - 2$ heraus.

$y (x - 2) = \pm e^{C} - 2 x + 4$

Schritt 5.8.5

Teile jeden Ausdruck in $y (x - 2) = \pm e^{C} - 2 x + 4$ durch $x - 2$ und vereinfache.

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Schritt 5.8.5.1

Teile jeden Ausdruck in $y (x - 2) = \pm e^{C} - 2 x + 4$ durch $x - 2$ .

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{\pm e^{C}}{x - 2} + \frac{- 2 x}{x - 2} + \frac{4}{x - 2}$

Schritt 5.8.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.8.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2$ .

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Schritt 5.8.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{\pm e^{C}}{x - 2} + \frac{- 2 x}{x - 2} + \frac{4}{x - 2}$

Schritt 5.8.5.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{x - 2} + \frac{- 2 x}{x - 2} + \frac{4}{x - 2}$

Schritt 5.8.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.8.5.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{\pm e^{C}}{x - 2} - \frac{2 x}{x - 2} + \frac{4}{x - 2}$

Schritt 5.8.5.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\pm e^{C} - 2 x}{x - 2} + \frac{4}{x - 2}$

Schritt 5.8.5.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\pm e^{C} - 2 x + 4}{x - 2}$

Schritt 6

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{C - 2 x + 4}{x - 2}$