Analysis Beispiele

$x^{3} d x + {(y + 1)}^{2} d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $x^{3} d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(y + 1)}^{2} d y = - x^{3} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int {(y + 1)}^{2} d y = \int - x^{3} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u = y + 1$ . Dann ist $d u = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u = y + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Schritt 2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y + 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 2.2.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 2.2.1.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.2.1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int u^{2} d u = \int - x^{3} d x$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C_{1} = \int - x^{3} d x$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y + 1$ .

$\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3} + C_{1} = \int - x^{3} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3} + C_{1} = - \int x^{3} d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3} + C_{1} = - (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Schreibe $- (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$ als $- \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$ um.

$\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3} + C_{1} = - \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3} = - \frac{1}{4} x^{4} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 (\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3}) = 3 (- \frac{1}{4} x^{4} + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $3 (\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${(y + 1)}^{3}$ .

$3 \frac{{(y + 1)}^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{4} x^{4} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{{(y + 1)}^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{4} x^{4} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(y + 1)}^{3} = 3 (- \frac{1}{4} x^{4} + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $3 (- \frac{1}{4} x^{4} + K)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kombiniere $x^{4}$ und $\frac{1}{4}$ .

${(y + 1)}^{3} = 3 (- \frac{x^{4}}{4} + K)$

Schritt 3.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

${(y + 1)}^{3} = 3 (- \frac{x^{4}}{4}) + 3 K$

Schritt 3.2.2.1.3

Multipliziere $3 (- \frac{x^{4}}{4})$ .

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

${(y + 1)}^{3} = - 3 \frac{x^{4}}{4} + 3 K$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{x^{4}}{4}$ .

${(y + 1)}^{3} = \frac{- 3 x^{4}}{4} + 3 K$

Schritt 3.2.2.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

${(y + 1)}^{3} = - \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y + 1 = \sqrt[3]{- \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K}$

Schritt 3.4

Vereinfache $\sqrt[3]{- \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K}$ .

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Schritt 3.4.1

Forme um.

$y + 1 = 0 + 0 + \sqrt[3]{- \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y + 1 = \sqrt[3]{- \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K}$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $3$ aus $- \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K$ heraus.

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Schritt 3.4.3.1

Faktorisiere $3$ aus $- \frac{3 x^{4}}{4}$ heraus.

$y + 1 = \sqrt[3]{3 (- \frac{x^{4}}{4}) + 3 K}$

Schritt 3.4.3.2

Faktorisiere $3$ aus $3 K$ heraus.

$y + 1 = \sqrt[3]{3 (- \frac{x^{4}}{4}) + 3 K}$

Schritt 3.4.3.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (- \frac{x^{4}}{4}) + 3 K$ heraus.

$y + 1 = \sqrt[3]{3 (- \frac{x^{4}}{4} + K)}$

Schritt 3.4.4

Um $K$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$y + 1 = \sqrt[3]{3 (- \frac{x^{4}}{4} + K \cdot \frac{4}{4})}$

Schritt 3.4.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.4.5.1

Kombiniere $K$ und $\frac{4}{4}$ .

$y + 1 = \sqrt[3]{3 (- \frac{x^{4}}{4} + \frac{K \cdot 4}{4})}$

Schritt 3.4.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y + 1 = \sqrt[3]{3 \frac{- x^{4} + K \cdot 4}{4}}$

Schritt 3.4.6

Bringe $4$ auf die linke Seite von $K$ .

$y + 1 = \sqrt[3]{3 \frac{- x^{4} + 4 K}{4}}$

Schritt 3.4.7

Kombiniere $3$ und $\frac{- x^{4} + 4 K}{4}$ .

$y + 1 = \sqrt[3]{\frac{3 (- x^{4} + 4 K)}{4}}$

Schritt 3.4.8

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{3 (- x^{4} + 4 K)}{4}}$ als $\frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ um.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$

Schritt 3.4.9

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Schritt 3.4.10

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.10.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Schritt 3.4.10.2

Potenziere $\sqrt[3]{4}$ mit $1$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Schritt 3.4.10.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Schritt 3.4.10.4

Addiere $1$ und $2$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Schritt 3.4.10.5

Schreibe ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ als $4$ um.

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Schritt 3.4.10.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{4}$ als $4^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 3.4.10.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 3.4.10.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.4.10.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.10.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.4.10.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Schritt 3.4.10.5.5

Berechne den Exponenten.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Schritt 3.4.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.11.1

Schreibe ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ als $\sqrt[3]{4^{2}}$ um.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

Schritt 3.4.11.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{16}}{4}$

Schritt 3.4.11.3

Schreibe $16$ als $2^{3} \cdot 2$ um.

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Schritt 3.4.11.3.1

Faktorisiere $8$ aus $16$ heraus.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

Schritt 3.4.11.3.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

Schritt 3.4.11.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Schritt 3.4.11.5

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.4.11.5.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y + 1 = \frac{2 \sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K) \cdot 2}}{4}$

Schritt 3.4.11.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$y + 1 = \frac{2 \sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{4}$

Schritt 3.4.12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 3.4.12.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}$ heraus.

$y + 1 = \frac{2 \sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{4}$

Schritt 3.4.12.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.12.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y + 1 = \frac{2 \sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.4.12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + 1 = \frac{2 \sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.4.12.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2}$

Schritt 3.5

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2} - 1$

Schritt 3.6

Vereinfache $\frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2} - 1$ .

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Schritt 3.6.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 3.6.2

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Schritt 3.6.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)} - 1 \cdot 2}{2}$

Schritt 3.6.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)} - 2}{2}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + K)} - 2}{2}$