Analysis Beispiele

$(y^{2} - 3 y - x) d x + (2 y - 3) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = y^{2} - 3 y - x$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} - 3 y - x]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{2} - 3 y - x$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [- 3 y]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 3 y$ nach $y$ gleich $- 3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 3 + \frac{d}{d y} [- x]$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.4.1

Da $- x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 3 + 0$

Schritt 1.4.2

Addiere $2 y - 3$ und $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 3$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = 2 y - 3$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y - 3]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 y - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 2.3

Da $2 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 2.4

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0$

Schritt 2.5

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $2 y - 3$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $0$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$2 y - 3 = 0$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$2 y - 3 = 0$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $2 y - 3$ .

$\frac{2 y - 3 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $0$ .

$\frac{2 y - 3 + 0}{N}$

Schritt 4.3

Ersetze $N$ durch $2 y - 3$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $N$ durch $2 y - 3$ .

$\frac{2 y - 3 + 0}{2 y - 3}$

Schritt 4.3.2

Addiere $2 y - 3$ und $0$ .

$\frac{2 y - 3}{2 y - 3}$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 y - 3$ .

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Schritt 4.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y - 3}{2 y - 3}$

Schritt 4.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$1$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int d x}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int d x}$ .

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Schritt 5.1

Wende die Konstantenregel an.

$μ (x, y) = e^{x + C}$

Schritt 5.2

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{x} + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $(y^{2} - 3 y - x) d x + (2 y - 3) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $e^{x}$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $y^{2} - 3 y - x$ mit $e^{x}$ .

$(y^{2} - 3 y - x) e^{x} d x + (2 y - 3) d y = 0$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}) d x + (2 y - 3) d y = 0$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $2 y - 3$ mit $e^{x}$ .

$(y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}) d x + (2 y - 3) e^{x} d y = 0$

Schritt 6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$(y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}) d x + (2 y e^{x} - 3 e^{x}) d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 y e^{x} - 3 e^{x} d y$

Schritt 8

Integriere $N (x, y) = 2 y e^{x} - 3 e^{x}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int 2 y e^{x} d y + \int - 3 e^{x} d y$

Schritt 8.2

Da $2 e^{x}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2 e^{x}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = 2 e^{x} \int y d y + \int - 3 e^{x} d y$

Schritt 8.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 2 e^{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int - 3 e^{x} d y$

Schritt 8.4

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = 2 e^{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C) - 3 e^{x} y + C$

Schritt 8.5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$f (x, y) = 2 e^{x} (\frac{y^{2}}{2} + C) - 3 e^{x} y + C$

Schritt 8.6

Vereinfache.

$f (x, y) = e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y + g (x)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y + g (x)] = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}]$ .

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Schritt 11.3.1

Da $y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $e^{x} y^{2}$ nach $x$ gleich $y^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}$

Schritt 11.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$y^{2} e^{x} + \frac{d}{d x} [- 3 e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}$

Schritt 11.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 e^{x} y]$ .

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Schritt 11.4.1

Da $- 3 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 e^{x} y$ nach $x$ gleich $- 3 y \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$y^{2} e^{x} - 3 y \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}$

Schritt 11.4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}$

Schritt 11.5

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} + \frac{d g}{d x} = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}$

Schritt 11.6

Vereinfache.

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Schritt 11.6.1

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}$

Schritt 11.6.2

Stelle die Faktoren in $\frac{d g}{d x} + e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y$ um.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 12.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 12.1.1

Subtrahiere $y^{2} e^{x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} - 3 y e^{x} = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x} - y^{2} e^{x}$

Schritt 12.1.2

Addiere $3 y e^{x}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x} - y^{2} e^{x} + 3 y e^{x}$

Schritt 12.1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x} - y^{2} e^{x} + 3 y e^{x}$ .

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Schritt 12.1.3.1

Subtrahiere $y^{2} e^{x}$ von $y^{2} e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = - 3 y e^{x} - x e^{x} + 0 + 3 y e^{x}$

Schritt 12.1.3.2

Addiere $- 3 y e^{x} - x e^{x}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - 3 y e^{x} - x e^{x} + 3 y e^{x}$

Schritt 12.1.3.3

Addiere $- 3 y e^{x}$ und $3 y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = - x e^{x} + 0$

Schritt 12.1.3.4

Addiere $- x e^{x}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - x e^{x}$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $- x e^{x}$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = - x e^{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x e^{x} d x$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x e^{x} d x$

Schritt 13.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$g (x) = - \int x e^{x} d x$

Schritt 13.4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{x}$ .

$g (x) = - (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

Schritt 13.5

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$g (x) = - (x e^{x} - (e^{x} + C))$

Schritt 13.6

Vereinfache.

$g (x) = - (x e^{x} - e^{x}) + C$

Schritt 14

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y + g (x)$ ein.

$f (x, y) = e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y - (x e^{x} - e^{x}) + C$

Schritt 15

Vereinfache $f (x, y) = e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y - (x e^{x} - e^{x}) + C$ .

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Schritt 15.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x, y) = e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y - (x e^{x}) - - e^{x} + C$

Schritt 15.1.2

Multipliziere $- - e^{x}$ .

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Schritt 15.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y - x e^{x} + 1 e^{x} + C$

Schritt 15.1.2.2

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y - x e^{x} + e^{x} + C$

Schritt 15.2

Stelle die Faktoren in $f (x, y) = e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y - x e^{x} + e^{x} + C$ um.

$f (x, y) = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x} + e^{x} + C$