Analysis Beispiele

$x \frac{d y}{d x} + y = 4 x + 1$ , $y (1) = 8$

Schritt 1

Prüfe, ob die linke Seite der Gleichung das Ergebnis der Ableitung des Ausdrucks $x y$ ist.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Schritt 1.4

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Schritt 1.5

Stelle $y$ und $1$ um.

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Schritt 1.6

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y$

Schritt 2

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [x y] = 4 x + 1$

Schritt 3

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int 4 x + 1 d x$

Schritt 4

Integriere die linke Seite.

$x y = \int 4 x + 1 d x$

Schritt 5

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 5.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$x y = \int 4 x d x + \int d x$

Schritt 5.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$x y = 4 \int x d x + \int d x$

Schritt 5.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x y = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int d x$

Schritt 5.4

Wende die Konstantenregel an.

$x y = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + x + C$

Schritt 5.5

Vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$x y = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + x + C$

Schritt 5.5.2

Vereinfache.

$x y = 2 x^{2} + x + C$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $x y = 2 x^{2} + x + C$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $x y = 2 x^{2} + x + C$ durch $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{x}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y}{x} = \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{x}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{x}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 6.3.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{x (2 x)}{x} + \frac{x}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 6.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y = \frac{x (2 x)}{x^{1}} + \frac{x}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 6.3.1.1.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$y = \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} + \frac{x}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 6.3.1.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} + \frac{x}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 6.3.1.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{2 x}{1} + \frac{x}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 6.3.1.1.2.5

Dividiere $2 x$ durch $1$ .

$y = 2 x + \frac{x}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 6.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 2 x + \frac{x}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 6.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 2 x + 1 + \frac{C}{x}$

Schritt 7

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $1$ für $x$ und $8$ für $y$ in $y = 2 x + 1 + \frac{C}{x}$ ersetzt wird.

$8 = 2 \cdot 1 + 1 + \frac{C}{1}$

Schritt 8

Löse nach $C$ auf.

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Schritt 8.1

Schreibe die Gleichung als $2 \cdot 1 + 1 + \frac{C}{1} = 8$ um.

$2 \cdot 1 + 1 + \frac{C}{1} = 8$

Schritt 8.2

Vereinfache $2 \cdot 1 + 1 + \frac{C}{1}$ .

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + 1 + \frac{C}{1} = 8$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $C$ durch $1$ .

$2 + 1 + C = 8$

Schritt 8.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$3 + C = 8$

Schritt 8.3

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 8.3.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$C = 8 - 3$

Schritt 8.3.2

Subtrahiere $3$ von $8$ .

$C = 5$

Schritt 9

Setze $5$ für $C$ in $y = 2 x + 1 + \frac{C}{x}$ ein und vereinfache.

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Schritt 9.1

Ersetze $C$ durch $5$ .

$y = 2 x + 1 + \frac{5}{x}$