Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{4} e^{x} y^{- 2}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y^{- 2}}$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{- 2}} (- \frac{1}{4} e^{x} y^{- 2})$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{y^{- 2}} (e^{x} y^{- 2})$

Schritt 1.2.2

Bringe $y^{- 2}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{4} y^{2} (e^{x} y^{- 2})$

Schritt 1.2.3

Multipliziere $y^{2}$ mit $y^{- 2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.3.1

Bewege $y^{- 2}$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{4} (y^{- 2} y^{2}) e^{x}$

Schritt 1.2.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{4} y^{- 2 + 2} e^{x}$

Schritt 1.2.3.3

Addiere $- 2$ und $2$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{4} y^{0} e^{x}$

Schritt 1.2.4

Vereinfache $- \frac{1}{4} y^{0} e^{x}$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{4} e^{x}$

Schritt 1.2.5

Kombiniere $e^{x}$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{e^{x}}{4}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y^{- 2}} d y = - \frac{e^{x}}{4} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y^{- 2}} d y = \int - \frac{e^{x}}{4} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Bringe $y^{- 2}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$\int y^{2} d y = \int - \frac{e^{x}}{4} d x$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - \frac{e^{x}}{4} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int \frac{e^{x}}{4} d x$

Schritt 2.3.2

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - (\frac{1}{4} \int e^{x} d x)$

Schritt 2.3.3

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{4} (e^{x} + C_{2})$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{4} e^{x} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{4} e^{x} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- \frac{1}{4} e^{x} + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{4} e^{x} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{4} e^{x} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{4} e^{x} + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $3 (- \frac{1}{4} e^{x} + K)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kombiniere $e^{x}$ und $\frac{1}{4}$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{e^{x}}{4} + K)$

Schritt 3.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{3} = 3 (- \frac{e^{x}}{4}) + 3 K$

Schritt 3.2.2.1.3

Multipliziere $3 (- \frac{e^{x}}{4})$ .

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$y^{3} = - 3 \frac{e^{x}}{4} + 3 K$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{e^{x}}{4}$ .

$y^{3} = \frac{- 3 e^{x}}{4} + 3 K$

Schritt 3.2.2.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{3} = - \frac{3 e^{x}}{4} + 3 K$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[3]{- \frac{3 e^{x}}{4} + 3 K}$

Schritt 3.4

Vereinfache $\sqrt[3]{- \frac{3 e^{x}}{4} + 3 K}$ .

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $3$ aus $- \frac{3 e^{x}}{4} + 3 K$ heraus.

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Schritt 3.4.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- \frac{3 e^{x}}{4}$ heraus.

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{e^{x}}{4}) + 3 K}$

Schritt 3.4.1.2

Faktorisiere $3$ aus $3 K$ heraus.

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{e^{x}}{4}) + 3 K}$

Schritt 3.4.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (- \frac{e^{x}}{4}) + 3 K$ heraus.

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{e^{x}}{4} + K)}$

Schritt 3.4.2

Um $K$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{e^{x}}{4} + K \cdot \frac{4}{4})}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.4.3.1

Kombiniere $K$ und $\frac{4}{4}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{e^{x}}{4} + \frac{K \cdot 4}{4})}$

Schritt 3.4.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{- e^{x} + K \cdot 4}{4}}$

Schritt 3.4.4

Bringe $4$ auf die linke Seite von $K$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{- e^{x} + 4 K}{4}}$

Schritt 3.4.5

Kombiniere $3$ und $\frac{- e^{x} + 4 K}{4}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (- e^{x} + 4 K)}{4}}$

Schritt 3.4.6

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{3 (- e^{x} + 4 K)}{4}}$ als $\frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$

Schritt 3.4.7

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Schritt 3.4.8

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.8.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Schritt 3.4.8.2

Potenziere $\sqrt[3]{4}$ mit $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Schritt 3.4.8.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Schritt 3.4.8.4

Addiere $1$ und $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Schritt 3.4.8.5

Schreibe ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ als $4$ um.

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Schritt 3.4.8.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{4}$ als $4^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 3.4.8.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 3.4.8.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.4.8.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.8.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.4.8.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Schritt 3.4.8.5.5

Berechne den Exponenten.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Schritt 3.4.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.9.1

Schreibe ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ als $\sqrt[3]{4^{2}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

Schritt 3.4.9.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} \sqrt[3]{16}}{4}$

Schritt 3.4.9.3

Schreibe $16$ als $2^{3} \cdot 2$ um.

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Schritt 3.4.9.3.1

Faktorisiere $8$ aus $16$ heraus.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

Schritt 3.4.9.3.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

Schritt 3.4.9.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Schritt 3.4.9.5

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.4.9.5.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K) \cdot 2}}{4}$

Schritt 3.4.9.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$y = \frac{2 \sqrt[3]{6 (- e^{x} + 4 K)}}{4}$

Schritt 3.4.10

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.10.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{6 (- e^{x} + 4 K)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.4.10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{6 (- e^{x} + 4 K)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.4.10.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- e^{x} + 4 K)}}{2}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- e^{x} + K)}}{2}$