Analysis Beispiele

$x (1 + 3 y^{2}) d y - (1 + 2 x^{2}) d x = 0$

Schritt 1

Addiere $(1 + 2 x^{2}) d x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x (1 + 3 y^{2}) d y = (1 + 2 x^{2}) d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} (x (1 + 3 y^{2})) d y = \frac{1}{x} (1 + 2 x^{2}) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x} (x (1 + 3 y^{2})) d y = \frac{1}{x} (1 + 2 x^{2}) d x$

Schritt 3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$(1 + 3 y^{2}) d y = \frac{1}{x} (1 + 2 x^{2}) d x$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $1 + 2 x^{2}$ .

$(1 + 3 y^{2}) d y = \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int 1 + 3 y^{2} d y = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int d y + \int 3 y^{2} d y = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

Schritt 4.2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} + \int 3 y^{2} d y = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

Schritt 4.2.3

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$y + C_{1} + 3 \int y^{2} d y = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

Schritt 4.2.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$y + C_{1} + 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{2}) = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

Schritt 4.2.5

Vereinfache.

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Schritt 4.2.5.1

Vereinfache.

$y + 3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{3} = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

Schritt 4.2.5.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.5.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$y + \frac{3}{3} y^{3} + C_{3} = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

Schritt 4.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + \frac{3}{3} y^{3} + C_{3} = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

Schritt 4.2.5.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y + 1 y^{3} + C_{3} = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

Schritt 4.2.5.2.3

Mutltipliziere $y^{3}$ mit $1$ .

$y + y^{3} + C_{3} = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

Schritt 4.2.6

Stelle die Terme um.

$y^{3} + y + C_{3} = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$y^{3} + y + C_{3} = \int \frac{1}{x} + \frac{2 x^{2}}{x} d x$

Schritt 4.3.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y^{3} + y + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{2 x^{2}}{x} d x$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 4.3.3.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$y^{3} + y + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x (2 x)}{x} d x$

Schritt 4.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y^{3} + y + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x (2 x)}{x^{1}} d x$

Schritt 4.3.3.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$y^{3} + y + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} d x$

Schritt 4.3.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{3} + y + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} d x$

Schritt 4.3.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$y^{3} + y + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{2 x}{1} d x$

Schritt 4.3.3.2.5

Dividiere $2 x$ durch $1$ .

$y^{3} + y + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x + \int 2 x d x$

Schritt 4.3.4

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$y^{3} + y + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} + \int 2 x d x$

Schritt 4.3.5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$y^{3} + y + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} + 2 \int x d x$

Schritt 4.3.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y^{3} + y + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5})$

Schritt 4.3.7

Vereinfache.

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Schritt 4.3.7.1

Vereinfache.

$y^{3} + y + C_{3} = \ln (| x |) + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{6}$

Schritt 4.3.7.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.7.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$y^{3} + y + C_{3} = \ln (| x |) + \frac{2}{2} x^{2} + C_{6}$

Schritt 4.3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{3} + y + C_{3} = \ln (| x |) + \frac{2}{2} x^{2} + C_{6}$

Schritt 4.3.7.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{3} + y + C_{3} = \ln (| x |) + 1 x^{2} + C_{6}$

Schritt 4.3.7.2.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$y^{3} + y + C_{3} = \ln (| x |) + x^{2} + C_{6}$

Schritt 4.3.8

Stelle die Terme um.

$y^{3} + y + C_{3} = x^{2} + \ln (| x |) + C_{6}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$y^{3} + y = x^{2} + \ln (| x |) + C$