Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(1 - \tan (x))}^{5}}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = \frac{{(1 - \tan (x))}^{5}}{\cos^{2} (x)} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \frac{{(1 - \tan (x))}^{5}}{\cos^{2} (x)} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int \frac{{(1 - \tan (x))}^{5}}{\cos^{2} (x)} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Wandle von $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ nach $\sec^{2} (x)$ um.

$y + C_{1} = \int {(1 - \tan (x))}^{5} \sec^{2} (x) d x$

Schritt 2.3.2

Sei $u = 1 - \tan (x)$ . Dann ist $d u = - \sec^{2} (x) d x$ , folglich $- \frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Es sei $u = 1 - \tan (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $1 - \tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 - \tan (x)]$

Schritt 2.3.2.1.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \tan (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

Schritt 2.3.2.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

Schritt 2.3.2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \tan (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Schritt 2.3.2.1.3.2

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$0 - \sec^{2} (x)$

Schritt 2.3.2.1.4

Subtrahiere $\sec^{2} (x)$ von $0$ .

$- \sec^{2} (x)$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y + C_{1} = \int - u^{5} d u$

Schritt 2.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - \int u^{5} d u$

Schritt 2.3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{5}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{1}{6} u^{6} + C_{2})$

Schritt 2.3.5

Schreibe $- (\frac{1}{6} u^{6} + C_{2})$ als $- \frac{1}{6} u^{6} + C_{2}$ um.

$y + C_{1} = - \frac{1}{6} u^{6} + C_{2}$

Schritt 2.3.6

Ersetze alle $u$ durch $1 - \tan (x)$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{6} {(1 - \tan (x))}^{6} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = - \frac{1}{6} {(1 - \tan (x))}^{6} + K$