Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + x y = x y^{2}$

Schritt 1

Um die Differentialgleichung zu lösen, sei $v = y^{1 - n}$ wo $n$ der Exponent von $y^{2}$ ist.

$v = y^{- 1}$

Schritt 2

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

$y = v^{- 1}$

Schritt 3

Nimm die Ableitung von $y$ in Gedenken an $x$ .

$y' = v^{- 1}$

Schritt 4

Nimm die Ableitung von $v^{- 1}$ in Gedenken an $x$ .

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Schritt 4.1

Nimm die Ableitung von $v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

Schritt 4.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1$ und $g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 4.4.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 4.4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.4.3.1

Mutltipliziere $v$ mit $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 4.4.3.2

Subtrahiere $\frac{d}{d x} [v]$ von $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 4.4.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 4.5

Schreibe $\frac{d}{d x} [v]$ als $v'$ um.

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

Schritt 5

Setze $- \frac{v'}{v^{2}}$ für $\frac{d y}{d x}$ und $v^{- 1}$ für $y$ in die ursprüngliche Gleichung $\frac{d y}{d x} + x y = x y^{2}$ ein.

$- \frac{v'}{v^{2}} + x v^{- 1} = x {(v^{- 1})}^{2}$

Schritt 6

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 6.1

Separiere die Variablen.

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Schritt 6.1.1

Löse nach $\frac{d v}{d x}$ auf.

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Schritt 6.1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + x \frac{1}{v} = x {(v^{- 1})}^{2}$

Schritt 6.1.1.1.2

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{v}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{x}{v} = x {(v^{- 1})}^{2}$

Schritt 6.1.1.2

Vereinfache $x {(v^{- 1})}^{2}$ .

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Schritt 6.1.1.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(v^{- 1})}^{2}$ .

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Schritt 6.1.1.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{x}{v} = x v^{- 1 \cdot 2}$

Schritt 6.1.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{x}{v} = x v^{- 2}$

Schritt 6.1.1.2.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{x}{v} = x \frac{1}{v^{2}}$

Schritt 6.1.1.2.3

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{v^{2}}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{x}{v} = \frac{x}{v^{2}}$

Schritt 6.1.1.3

Subtrahiere $\frac{x}{v}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{x}{v^{2}} - \frac{x}{v}$

Schritt 6.1.1.4

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{x}{v^{2}} - \frac{x}{v}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.1.1.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{x}{v^{2}} - \frac{x}{v}$ durch $- 1$ .

$\frac{- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}}{- 1} = \frac{\frac{x}{v^{2}}}{- 1} + \frac{- \frac{x}{v}}{- 1}$

Schritt 6.1.1.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.1.4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}}{1} = \frac{\frac{x}{v^{2}}}{- 1} + \frac{- \frac{x}{v}}{- 1}$

Schritt 6.1.1.4.2.2

Dividiere $\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ durch $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{\frac{x}{v^{2}}}{- 1} + \frac{- \frac{x}{v}}{- 1}$

Schritt 6.1.1.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1.1.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1.4.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\frac{x}{v^{2}}}{- 1}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - 1 \cdot \frac{x}{v^{2}} + \frac{- \frac{x}{v}}{- 1}$

Schritt 6.1.1.4.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot \frac{x}{v^{2}}$ als $- \frac{x}{v^{2}}$ um.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{x}{v^{2}} + \frac{- \frac{x}{v}}{- 1}$

Schritt 6.1.1.4.3.1.3

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{x}{v^{2}} + \frac{\frac{x}{v}}{1}$

Schritt 6.1.1.4.3.1.4

Dividiere $\frac{x}{v}$ durch $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{x}{v^{2}} + \frac{x}{v}$

Schritt 6.1.1.5

Multipliziere beide Seiten mit $v^{2}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} v^{2} = (- \frac{x}{v^{2}} + \frac{x}{v}) v^{2}$

Schritt 6.1.1.6

Vereinfache.

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Schritt 6.1.1.6.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.1.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v^{2}$ .

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Schritt 6.1.1.6.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} v^{2} = (- \frac{x}{v^{2}} + \frac{x}{v}) v^{2}$

Schritt 6.1.1.6.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d v}{d x} = (- \frac{x}{v^{2}} + \frac{x}{v}) v^{2}$

Schritt 6.1.1.6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1.1.6.2.1

Vereinfache $(- \frac{x}{v^{2}} + \frac{x}{v}) v^{2}$ .

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Schritt 6.1.1.6.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d v}{d x} = - \frac{x}{v^{2}} v^{2} + \frac{x}{v} v^{2}$

Schritt 6.1.1.6.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v^{2}$ .

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Schritt 6.1.1.6.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x}{v^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{d v}{d x} = \frac{- x}{v^{2}} v^{2} + \frac{x}{v} v^{2}$

Schritt 6.1.1.6.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d v}{d x} = \frac{- x}{v^{2}} v^{2} + \frac{x}{v} v^{2}$

Schritt 6.1.1.6.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d v}{d x} = - x + \frac{x}{v} v^{2}$

Schritt 6.1.1.6.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v$ .

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Schritt 6.1.1.6.2.1.3.1

Faktorisiere $v$ aus $v^{2}$ heraus.

$\frac{d v}{d x} = - x + \frac{x}{v} (v \cdot v)$

Schritt 6.1.1.6.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d v}{d x} = - x + \frac{x}{v} (v \cdot v)$

Schritt 6.1.1.6.2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d v}{d x} = - x + x v$

Schritt 6.1.1.6.2.1.4

Vereinfache durch Vertauschen.

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Schritt 6.1.1.6.2.1.4.1

Stelle $x$ und $v$ um.

$\frac{d v}{d x} = - x + v x$

Schritt 6.1.1.6.2.1.4.2

Stelle $- x$ und $v x$ um.

$\frac{d v}{d x} = v x - x$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere $x$ aus $v x - x$ heraus.

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Schritt 6.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $v x$ heraus.

$\frac{d v}{d x} = x v - x$

Schritt 6.1.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- x$ heraus.

$\frac{d v}{d x} = x v + x \cdot - 1$

Schritt 6.1.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x v + x \cdot - 1$ heraus.

$\frac{d v}{d x} = x (v - 1)$

Schritt 6.1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{v - 1}$ .

$\frac{1}{v - 1} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v - 1} (x (v - 1))$

Schritt 6.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v - 1$ .

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Schritt 6.1.4.1

Faktorisiere $v - 1$ aus $x (v - 1)$ heraus.

$\frac{1}{v - 1} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v - 1} ((v - 1) x)$

Schritt 6.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{v - 1} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v - 1} ((v - 1) x)$

Schritt 6.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{v - 1} \frac{d v}{d x} = x$

Schritt 6.1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{v - 1} d v = x d x$

Schritt 6.2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 6.2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{v - 1} d v = \int x d x$

Schritt 6.2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Sei $u = v - 1$ . Dann ist $d u = d v$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Es sei $u = v - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d v}$ .

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Schritt 6.2.2.1.1.1

Differenziere $v - 1$ .

$\frac{d}{d v} [v - 1]$

Schritt 6.2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $v - 1$ nach $v$ $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 1]$ .

$\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 1]$

Schritt 6.2.2.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ gleich $n v^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d v} [- 1]$

Schritt 6.2.2.1.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $v$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $v$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 6.2.2.1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 6.2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} d u = \int x d x$

Schritt 6.2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int x d x$

Schritt 6.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $v - 1$ .

$\ln (| v - 1 |) + C_{1} = \int x d x$

Schritt 6.2.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| v - 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 6.2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| v - 1 |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 6.3

Löse nach $v$ auf.

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Schritt 6.3.1

Um nach $v$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| v - 1 |)} = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

Schritt 6.3.2

Schreibe $\ln (| v - 1 |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + C} = | v - 1 |$

Schritt 6.3.3

Löse nach $v$ auf.

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Schritt 6.3.3.1

Schreibe die Gleichung als $| v - 1 | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$ um.

$| v - 1 | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

Schritt 6.3.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$| v - 1 | = e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$

Schritt 6.3.3.3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$v - 1 = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$

Schritt 6.3.3.4

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$v = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + C} + 1$

Schritt 6.4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 6.4.1

Schreibe $e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$ als $e^{\frac{x^{2}}{2}} e^{C}$ um.

$v = \pm e^{\frac{x^{2}}{2}} e^{C} + 1$

Schritt 6.4.2

Stelle $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ und $e^{C}$ um.

$v = \pm e^{C} e^{\frac{x^{2}}{2}} + 1$

Schritt 6.4.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$v = C e^{\frac{x^{2}}{2}} + 1$

Schritt 7

Ersetze $v$ durch $y^{- 1}$ .

$y^{- 1} = C e^{\frac{x^{2}}{2}} + 1$