Analysis Beispiele

$(1 + y) d x - (1 - x) d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $(1 + y) d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- (1 - x) d y = - (1 + y) d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{(1 - x) (1 + y)}$ .

$\frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (- (1 - x)) d y = \frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (- (1 + y)) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (- (1 + y)) d x$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - x$ .

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Schritt 3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{(1 - x) (1 + y)}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{(1 - x) (1 + y)} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (- (1 + y)) d x$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{(1 - x) (1 + y)} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (- (1 + y)) d x$

Schritt 3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{1 + y} d y = \frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (- (1 + y)) d x$

Schritt 3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{1 + y} d y = \frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (- (1 + y)) d x$

Schritt 3.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{1}{1 + y} d y = - \frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (1 + y) d x$

Schritt 3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + y$ .

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Schritt 3.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{(1 - x) (1 + y)}$ in den Zähler.

$- \frac{1}{1 + y} d y = \frac{- 1}{(1 - x) (1 + y)} (1 + y) d x$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere $1 + y$ aus $(1 - x) (1 + y)$ heraus.

$- \frac{1}{1 + y} d y = \frac{- 1}{(1 + y) (1 - x)} (1 + y) d x$

Schritt 3.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{1 + y} d y = \frac{- 1}{(1 + y) (1 - x)} (1 + y) d x$

Schritt 3.5.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{1 + y} d y = \frac{- 1}{1 - x} d x$

Schritt 3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{1 + y} d y = - \frac{1}{1 - x} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int - \frac{1}{1 + y} d y = \int - \frac{1}{1 - x} d x$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{1 + y} d y = \int - \frac{1}{1 - x} d x$

Schritt 4.2.2

Sei $u_{1} = 1 + y$ . Dann ist $d u_{1} = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 4.2.2.1

Es sei $u_{1} = 1 + y$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Differenziere $1 + y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

Schritt 4.2.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 4.2.2.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 4.2.2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 1$

Schritt 4.2.2.1.5

Addiere $0$ und $1$ .

$1$

Schritt 4.2.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$- \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{1 - x} d x$

Schritt 4.2.3

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{1 - x} d x$

Schritt 4.2.4

Vereinfache.

$- \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{1 - x} d x$

Schritt 4.2.5

Ersetze alle $u_{1}$ durch $1 + y$ .

$- \ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{1 - x} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{1 - x} d x$

Schritt 4.3.2

Sei $u_{2} = 1 - x$ . Dann ist $d u_{2} = - d x$ , folglich $- d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 4.3.2.1

Es sei $u_{2} = 1 - x$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Forme um.

$\frac{- 1}{1}$

Schritt 4.3.2.1.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1$

Schritt 4.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$- \ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 4.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 4.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \ln (| 1 + y |) + C_{1} = - - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 4.3.5

Vereinfache.

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Schritt 4.3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \ln (| 1 + y |) + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 4.3.5.2

Mutltipliziere $\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ mit $1$ .

$- \ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 4.3.6

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \ln (| 1 + y |) + C_{1} = \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Schritt 4.3.7

Ersetze alle $u_{2}$ durch $1 - x$ .

$- \ln (| 1 + y |) + C_{1} = \ln (| 1 - x |) + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \ln (| 1 + y |) = \ln (| 1 - x |) + C$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$- \ln (| 1 + y |) - \ln (| 1 - x |) = C$

Schritt 5.2

Addiere $\ln (| 1 - x |)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- \ln (| 1 + y |) = C + \ln (| 1 - x |)$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (| 1 + y |) = C + \ln (| 1 - x |)$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (| 1 + y |) = C + \ln (| 1 - x |)$ durch $- 1$ .

$\frac{- \ln (| 1 + y |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| 1 - x |)}{- 1}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\ln (| 1 + y |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| 1 - x |)}{- 1}$

Schritt 5.3.2.2

Dividiere $\ln (| 1 + y |)$ durch $1$ .

$\ln (| 1 + y |) = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| 1 - x |)}{- 1}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| 1 + y |) = - 1 \cdot C + \frac{\ln (| 1 - x |)}{- 1}$

Schritt 5.3.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot C$ als $- C$ um.

$\ln (| 1 + y |) = - C + \frac{\ln (| 1 - x |)}{- 1}$

Schritt 5.3.3.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\ln (| 1 - x |)}{- 1}$ .

$\ln (| 1 + y |) = - C - 1 \cdot \ln (| 1 - x |)$

Schritt 5.3.3.1.4

Schreibe $- 1 \cdot \ln (| 1 - x |)$ als $- \ln (| 1 - x |)$ um.

$\ln (| 1 + y |) = - C - \ln (| 1 - x |)$

Schritt 5.4

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| 1 + y |) + \ln (| 1 - x |) = - C$

Schritt 5.5

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 1 + y | | 1 - x |) = - C$

Schritt 5.6

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$\ln (| (1 + y) (1 - x) |) = - C$

Schritt 5.7

Multipliziere $(1 + y) (1 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| 1 (1 - x) + y (1 - x) |) = - C$

Schritt 5.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + y (1 - x) |) = - C$

Schritt 5.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + y \cdot 1 + y (- x) |) = - C$

Schritt 5.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.8.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\ln (| 1 + 1 (- x) + y \cdot 1 + y (- x) |) = - C$

Schritt 5.8.2

Mutltipliziere $- x$ mit $1$ .

$\ln (| 1 - x + y \cdot 1 + y (- x) |) = - C$

Schritt 5.8.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\ln (| 1 - x + y + y (- x) |) = - C$

Schritt 5.8.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\ln (| 1 - x + y - y x |) = - C$

Schritt 5.9

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| 1 - x + y - y x |)} = e^{- C}$

Schritt 5.10

Schreibe $\ln (| 1 - x + y - y x |) = - C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = | 1 - x + y - y x |$

Schritt 5.11

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.11.1

Schreibe die Gleichung als $| 1 - x + y - y x | = e^{- C}$ um.

$| 1 - x + y - y x | = e^{- C}$

Schritt 5.11.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$1 - x + y - y x = \pm e^{- C}$

Schritt 5.11.3

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.11.3.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x + y - y x = \pm e^{- C} - 1$

Schritt 5.11.3.2

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y - y x = \pm e^{- C} - 1 + x$

Schritt 5.11.4

Faktorisiere $y$ aus $y - y x$ heraus.

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Schritt 5.11.4.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{1}$ heraus.

$y \cdot 1 - y x = \pm e^{- C} - 1 + x$

Schritt 5.11.4.2

Faktorisiere $y$ aus $- y x$ heraus.

$y \cdot 1 + y (- 1 x) = \pm e^{- C} - 1 + x$

Schritt 5.11.4.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot 1 + y (- 1 x)$ heraus.

$y (1 - 1 x) = \pm e^{- C} - 1 + x$

Schritt 5.11.5

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$y (1 - x) = \pm e^{- C} - 1 + x$

Schritt 5.11.6

Teile jeden Ausdruck in $y (1 - x) = \pm e^{- C} - 1 + x$ durch $1 - x$ und vereinfache.

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Schritt 5.11.6.1

Teile jeden Ausdruck in $y (1 - x) = \pm e^{- C} - 1 + x$ durch $1 - x$ .

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{\pm e^{- C}}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}$

Schritt 5.11.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.11.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - x$ .

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Schritt 5.11.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{\pm e^{- C}}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}$

Schritt 5.11.6.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}$

Schritt 5.11.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.11.6.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{\pm e^{- C}}{1 - x} - \frac{1}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}$

Schritt 5.11.6.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\pm e^{- C} - 1}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}$

Schritt 5.11.6.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\pm e^{- C} - 1 + x}{1 - x}$

Schritt 6

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{C + x}{1 - x}$