Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + x y^{2}}{x^{2} y - x^{2}}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{2} + x y^{2}$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} \cdot 1 + x y^{2}}{x^{2} y - x^{2}}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $y^{2}$ aus $x y^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} \cdot 1 + y^{2} x}{x^{2} y - x^{2}}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{2} \cdot 1 + y^{2} x$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} \cdot (1 + x)}{x^{2} y - x^{2}}$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1 + x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} (1 + x)}{x^{2} y - x^{2}}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} y - x^{2}$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} (1 + x)}{x^{2} (y) - x^{2}}$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} (1 + x)}{x^{2} (y) + x^{2} \cdot - 1}$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (y) + x^{2} \cdot - 1$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} (1 + x)}{x^{2} (y - 1)}$

Schritt 1.3

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{y - 1} \cdot \frac{1 + x}{x^{2}}$

Schritt 1.4

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{y - 1}{y^{2}}$ .

$\frac{y - 1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y^{2}} (\frac{y^{2}}{y - 1} \cdot \frac{1 + x}{x^{2}})$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $\frac{y^{2}}{y - 1}$ mit $\frac{1 + x}{x^{2}}$ .

$\frac{y - 1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + x)}{(y - 1) x^{2}}$

Schritt 1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 1$ .

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Schritt 1.5.2.1

Faktorisiere $y - 1$ aus $(y - 1) x^{2}$ heraus.

$\frac{y - 1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + x)}{(y - 1) (x^{2})}$

Schritt 1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y - 1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + x)}{(y - 1) x^{2}}$

Schritt 1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y - 1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + x)}{x^{2}}$

Schritt 1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 1.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y - 1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + x)}{x^{2}}$

Schritt 1.5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y - 1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{x^{2}}$

Schritt 1.6

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{y - 1}{y^{2}} d y = \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{y - 1}{y^{2}} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1.1

Bringe $y^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (y - 1) {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (y - 1) y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int (y - 1) y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.2

Multipliziere $(y - 1) y^{- 2}$ .

$\int y \cdot y^{- 2} - 1 y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.1

Multipliziere $y$ mit $y^{- 2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.3.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $y^{- 2}$ .

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Schritt 2.2.3.1.1.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\int y^{1} y^{- 2} - 1 y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.3.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int y^{1 - 2} - 1 y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.3.1.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\int y^{- 1} - 1 y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.3.2

Schreibe $- 1 y^{- 2}$ als $- y^{- 2}$ um.

$\int y^{- 1} - y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int y^{- 1} d y + \int - y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.5

Das Integral von $y^{- 1}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int - y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} - \int y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- 2}$ nach $y$ gleich $- y^{- 1}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} - (- y^{- 1} + C_{2}) = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.8

Vereinfache.

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Schritt 2.2.8.1

Vereinfache.

$\ln (| y |) - - \frac{1}{y} + C_{3} = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.8.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.8.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\ln (| y |) + 1 \frac{1}{y} + C_{3} = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.8.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{y}$ mit $1$ .

$\ln (| y |) + \frac{1}{y} + C_{3} = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.9

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.3.1.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int (1 + x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int (1 + x) x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 2.3.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int (1 + x) x^{- 2} d x$

Schritt 2.3.2

Multipliziere $(1 + x) x^{- 2}$ .

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int 1 x^{- 2} + x \cdot x^{- 2} d x$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1

Mutltipliziere $x^{- 2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{- 2} + x \cdot x^{- 2} d x$

Schritt 2.3.3.2

Multipliziere $x$ mit $x^{- 2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.3.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{- 2}$ .

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Schritt 2.3.3.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{- 2} + x^{1} x^{- 2} d x$

Schritt 2.3.3.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{- 2} + x^{1 - 2} d x$

Schritt 2.3.3.2.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{- 2} + x^{- 1} d x$

Schritt 2.3.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{- 2} d x + \int x^{- 1} d x$

Schritt 2.3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = - x^{- 1} + C_{4} + \int x^{- 1} d x$

Schritt 2.3.6

Das Integral von $x^{- 1}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = - x^{- 1} + C_{4} + \ln (| x |) + C_{5}$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C_{6}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) = - \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C$