Analysis Beispiele

$\frac{z + 5}{4 z + 19} d z = d y$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = \frac{z + 5}{4 z + 19} d z$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \frac{z + 5}{4 z + 19} d z$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int \frac{z + 5}{4 z + 19} d z$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Dividiere $z + 5$ durch $4 z + 19$ .

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Schritt 2.3.1.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$4 z$

$19$

$z$

$5$

Schritt 2.3.1.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $z$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $4 z$ .

					$\frac{1}{4}$
	$4 z$	+	$19$		$z$	+	$5$

Schritt 2.3.1.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$\frac{1}{4}$
$4 z$	+	$19$		$z$	+	$5$
			+	$z$	+	$\frac{19}{4}$

Schritt 2.3.1.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $z + \frac{19}{4}$

				$\frac{1}{4}$
$4 z$	+	$19$		$z$	+	$5$
			-	$z$	-	$\frac{19}{4}$

Schritt 2.3.1.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$\frac{1}{4}$
$4 z$	+	$19$		$z$	+	$5$
			-	$z$	-	$\frac{19}{4}$
					+	$\frac{1}{4}$

Schritt 2.3.1.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{4} + \frac{1}{4 (4 z + 19)} d z$

Schritt 2.3.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{4} d z + \int \frac{1}{4 (4 z + 19)} d z$

Schritt 2.3.3

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} z + C_{2} + \int \frac{1}{4 (4 z + 19)} d z$

Schritt 2.3.4

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $z$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} z + C_{2} + \frac{1}{4} \int \frac{1}{4 z + 19} d z$

Schritt 2.3.5

Sei $u = 4 z + 19$ . Dann ist $d u = 4 d z$ , folglich $\frac{1}{4} d u = d z$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.5.1

Es sei $u = 4 z + 19$ . Ermittle $\frac{d u}{d z}$ .

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Schritt 2.3.5.1.1

Differenziere $4 z + 19$ .

$\frac{d}{d z} [4 z + 19]$

Schritt 2.3.5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 z + 19$ nach $z$ $\frac{d}{d z} [4 z] + \frac{d}{d z} [19]$ .

$\frac{d}{d z} [4 z] + \frac{d}{d z} [19]$

Schritt 2.3.5.1.3

Berechne $\frac{d}{d z} [4 z]$ .

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Schritt 2.3.5.1.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $4 z$ nach $z$ gleich $4 \frac{d}{d z} [z]$ .

$4 \frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [19]$

Schritt 2.3.5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ gleich $n z^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d z} [19]$

Schritt 2.3.5.1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 + \frac{d}{d z} [19]$

Schritt 2.3.5.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.5.1.4.1

Da $19$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $19$ bezüglich $z$ gleich $0$ .

$4 + 0$

Schritt 2.3.5.1.4.2

Addiere $4$ und $0$ .

$4$

Schritt 2.3.5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} z + C_{2} + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} z + C_{2} + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u \cdot 4} d u$

Schritt 2.3.6.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $u$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} z + C_{2} + \frac{1}{4} \int \frac{1}{4 u} d u$

Schritt 2.3.7

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} z + C_{2} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 2.3.8

Vereinfache.

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Schritt 2.3.8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} z + C_{2} + \frac{1}{4 \cdot 4} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.3.8.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} z + C_{2} + \frac{1}{16} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.3.9

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} z + C_{2} + \frac{1}{16} (\ln (| u |) + C_{3})$

Schritt 2.3.10

Vereinfache.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} z + \frac{1}{16} \ln (| u |) + C_{4}$

Schritt 2.3.11

Ersetze alle $u$ durch $4 z + 19$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} z + \frac{1}{16} \ln (| 4 z + 19 |) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$y = \frac{1}{4} z + \frac{1}{16} \ln (| 4 z + 19 |) + C$