Analysis Beispiele

$x e^{- t} \frac{d x}{d t} = t$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $x e^{- t} \frac{d x}{d t} = t$ durch $x e^{- t}$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Teile jeden Ausdruck in $x e^{- t} \frac{d x}{d t} = t$ durch $x e^{- t}$ .

$\frac{x e^{- t} \frac{d x}{d t}}{x e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x e^{- t} \frac{d x}{d t}}{x e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

Schritt 1.1.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{e^{- t} \frac{d x}{d t}}{e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

Schritt 1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- t}$ .

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{- t} \frac{d x}{d t}}{e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

Schritt 1.1.2.2.2

Dividiere $\frac{d x}{d t}$ durch $1$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{t}{x e^{- t}}$

Schritt 1.2

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d x}{d t} = \frac{t}{e^{- t}} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$x \frac{d x}{d t} = x (\frac{t}{e^{- t}} \cdot \frac{1}{x})$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Kombinieren.

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{t \cdot 1}{e^{- t} x}$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.4.2.1

Faktorisiere $x$ aus $e^{- t} x$ heraus.

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{t \cdot 1}{x e^{- t}}$

Schritt 1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{t \cdot 1}{x e^{- t}}$

Schritt 1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x \frac{d x}{d t} = \frac{t \cdot 1}{e^{- t}}$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $t$ mit $1$ .

$x \frac{d x}{d t} = \frac{t}{e^{- t}}$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$x d x = \frac{t}{e^{- t}} d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int x d x = \int \frac{t}{e^{- t}} d t$

Schritt 2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int \frac{t}{e^{- t}} d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.1.1

Kehre das Vorzeichen des Exponenten von $e^{- t}$ um und ziehe es aus dem Nenner heraus.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t {(e^{- t})}^{- 1} d t$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{- t})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t e^{- t \cdot - 1} d t$

Schritt 2.3.1.2.2

Multipliziere $- t \cdot - 1$ .

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Schritt 2.3.1.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t e^{1 t} d t$

Schritt 2.3.1.2.2.2

Mutltipliziere $t$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

Schritt 2.3.2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = t$ und $d v = e^{t}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = t e^{t} - \int e^{t} d t$

Schritt 2.3.3

Das Integral von $e^{t}$ nach $t$ ist $e^{t}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = t e^{t} - (e^{t} + C_{2})$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = t e^{t} - e^{t} + C_{2}$

Schritt 2.3.5

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = e^{t} t - e^{t} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{2} x^{2} = e^{t} t - e^{t} + K$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}) = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} x^{2})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $2 (e^{t} t - e^{t} + K)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} = 2 (e^{t} t) + 2 (- e^{t}) + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{2} = 2 e^{t} t - 2 e^{t} + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3

Stelle die Faktoren in $2 e^{t} t - 2 e^{t} + 2 K$ um.

$x^{2} = 2 t e^{t} - 2 e^{t} + 2 K$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{2 t e^{t} - 2 e^{t} + 2 K}$

Schritt 3.4

Faktorisiere $2$ aus $2 t e^{t} - 2 e^{t} + 2 K$ heraus.

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 t e^{t}$ heraus.

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t}) - 2 e^{t} + 2 K}$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 e^{t}$ heraus.

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t}) + 2 (- e^{t}) + 2 K}$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 K$ heraus.

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t}) + 2 (- e^{t}) + 2 K}$

Schritt 3.4.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (t e^{t}) + 2 (- e^{t})$ heraus.

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t}) + 2 K}$

Schritt 3.4.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (t e^{t} - e^{t}) + 2 K$ heraus.

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

Schritt 3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

Schritt 3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

Schritt 3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$