Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d t} = \frac{y}{t}$

Schritt 1

Es gilt $V = \frac{y}{t}$ . Ersetze $V$ für $\frac{y}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} = V$

Schritt 2

Löse $V = \frac{y}{t}$ nach $y$ auf.

$y = V t$

Schritt 3

Verwende die Produktregel um die Ableitung von $y = V t$ nach $t$ zu finden.

$\frac{d y}{d t} = t \frac{d V}{d t} + V$

Schritt 4

Ersetze $\frac{d y}{d t}$ durch $t \frac{d V}{d t} + V$ .

$t \frac{d V}{d t} + V = V$

Schritt 5

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 5.1

Separiere die Variablen.

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Schritt 5.1.1

Löse nach $\frac{d V}{d t}$ auf.

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Schritt 5.1.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d V}{d t}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1.1.1

Subtrahiere $V$ von beiden Seiten der Gleichung.

$t \frac{d V}{d t} = V - V$

Schritt 5.1.1.1.2

Subtrahiere $V$ von $V$ .

$t \frac{d V}{d t} = 0$

Schritt 5.1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $t \frac{d V}{d t} = 0$ durch $t$ und vereinfache.

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Schritt 5.1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $t \frac{d V}{d t} = 0$ durch $t$ .

$\frac{t \frac{d V}{d t}}{t} = \frac{0}{t}$

Schritt 5.1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t$ .

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Schritt 5.1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{t \frac{d V}{d t}}{t} = \frac{0}{t}$

Schritt 5.1.1.2.2.1.2

Dividiere $\frac{d V}{d t}$ durch $1$ .

$\frac{d V}{d t} = \frac{0}{t}$

Schritt 5.1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1.1.2.3.1

Dividiere $0$ durch $t$ .

$\frac{d V}{d t} = 0$

Schritt 5.1.2

Schreibe die Gleichung um.

$d V = 0 d t$

Schritt 5.2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 5.2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d V = \int 0 d t$

Schritt 5.2.2

Wende die Konstantenregel an.

$V + C_{1} = \int 0 d t$

Schritt 5.2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Das Integral von $0$ nach $t$ ist $0$ .

$V + C_{1} = 0 + C_{2}$

Schritt 5.2.3.2

Addiere $0$ und $C_{2}$ .

$V + C_{1} = C_{2}$

Schritt 5.2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $D$ zusammen.

$V = D$

Schritt 6

Ersetze $V$ durch $\frac{y}{t}$ .

$\frac{y}{t} = D$

Schritt 7

Löse $\frac{y}{t} = D$ nach $y$ auf.

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Schritt 7.1

Multipliziere beide Seiten mit $t$ .

$\frac{y}{t} t = D t$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{t} t = D t$

Schritt 7.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = D t$