Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 6 x {(y - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} (6 x {(y - 1)}^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} (x {(y - 1)}^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1.2.2

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} (x {(y - 1)}^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(y - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Faktorisiere ${(y - 1)}^{\frac{2}{3}}$ aus $x {(y - 1)}^{\frac{2}{3}}$ heraus.

$\frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} ({(y - 1)}^{\frac{2}{3}} x)$

Schritt 1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} ({(y - 1)}^{\frac{2}{3}} x)$

Schritt 1.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = 6 x$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} d y = 6 x d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} d y = \int 6 x d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u = y - 1$ . Dann ist $d u = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u = y - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Schritt 2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y - 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.2.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.2.1.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.2.1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u = \int 6 x d x$

Schritt 2.2.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.2.1

Bringe $u^{\frac{2}{3}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d u = \int 6 x d x$

Schritt 2.2.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d u = \int 6 x d x$

Schritt 2.2.2.2.2

Multipliziere $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Schritt 2.2.2.2.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $- 1$ .

$\int u^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d u = \int 6 x d x$

Schritt 2.2.2.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int u^{\frac{- 2}{3}} d u = \int 6 x d x$

Schritt 2.2.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int u^{- \frac{2}{3}} d u = \int 6 x d x$

Schritt 2.2.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{2}{3}}$ nach $u$ gleich $3 u^{\frac{1}{3}}$ .

$3 u^{\frac{1}{3}} + C_{1} = \int 6 x d x$

Schritt 2.2.4

Ersetze alle $u$ durch $y - 1$ .

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} + C_{1} = \int 6 x d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} + C_{1} = 6 \int x d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ als $6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ um.

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} + C_{1} = 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.2.1

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{2}$ .

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} + C_{1} = \frac{6}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 2.3.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.3.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} + C_{1} = \frac{3}{1} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} + C_{1} = 3 x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} = 3 x^{2} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} = 3 x^{2} + K$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} = 3 x^{2} + K$ durch $3$ .

$\frac{3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3} = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{K}{3}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3} = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{K}{3}$

Schritt 3.1.2.2

Dividiere ${(y - 1)}^{\frac{1}{3}}$ durch $1$ .

${(y - 1)}^{\frac{1}{3}} = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{K}{3}$

Schritt 3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.1.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(y - 1)}^{\frac{1}{3}} = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{K}{3}$

Schritt 3.1.3.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

${(y - 1)}^{\frac{1}{3}} = x^{2} + \frac{K}{3}$

Schritt 3.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${({(y - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x^{2} + \frac{K}{3})}^{3}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1.1

Vereinfache ${({(y - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(y - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x^{2} + \frac{K}{3})}^{3}$

Schritt 3.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(y - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x^{2} + \frac{K}{3})}^{3}$

Schritt 3.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(y - 1)}^{1} = {(x^{2} + \frac{K}{3})}^{3}$

Schritt 3.3.1.1.2

Vereinfache.

$y - 1 = {(x^{2} + \frac{K}{3})}^{3}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache ${(x^{2} + \frac{K}{3})}^{3}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$y - 1 = {(x^{2})}^{3} + 3 {(x^{2})}^{2} \frac{K}{3} + 3 x^{2} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Schritt 3.3.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{3}$ .

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Schritt 3.3.2.1.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y - 1 = x^{2 \cdot 3} + 3 {(x^{2})}^{2} \frac{K}{3} + 3 x^{2} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Schritt 3.3.2.1.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$y - 1 = x^{6} + 3 {(x^{2})}^{2} \frac{K}{3} + 3 x^{2} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Schritt 3.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.2.1.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 {(x^{2})}^{2}$ heraus.

$y - 1 = x^{6} + 3 ({(x^{2})}^{2}) \frac{K}{3} + 3 x^{2} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Schritt 3.3.2.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - 1 = x^{6} + 3 {(x^{2})}^{2} \frac{K}{3} + 3 x^{2} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Schritt 3.3.2.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y - 1 = x^{6} + {(x^{2})}^{2} K + 3 x^{2} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Schritt 3.3.2.1.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y - 1 = x^{6} + x^{2 \cdot 2} K + 3 x^{2} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Schritt 3.3.2.1.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y - 1 = x^{6} + x^{4} K + 3 x^{2} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Schritt 3.3.2.1.2.4

Wende die Produktregel auf $\frac{K}{3}$ an.

$y - 1 = x^{6} + x^{4} K + 3 x^{2} \frac{K^{2}}{3^{2}} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Schritt 3.3.2.1.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.2.1.2.5.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$y - 1 = x^{6} + x^{4} K + 3 (x^{2}) \frac{K^{2}}{3^{2}} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Schritt 3.3.2.1.2.5.2

Faktorisiere $3$ aus $3^{2}$ heraus.

$y - 1 = x^{6} + x^{4} K + 3 (x^{2}) \frac{K^{2}}{3 \cdot 3} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Schritt 3.3.2.1.2.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - 1 = x^{6} + x^{4} K + 3 x^{2} \frac{K^{2}}{3 \cdot 3} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Schritt 3.3.2.1.2.5.4

Forme den Ausdruck um.

$y - 1 = x^{6} + x^{4} K + x^{2} \frac{K^{2}}{3} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Schritt 3.3.2.1.2.6

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{K^{2}}{3}$ .

$y - 1 = x^{6} + x^{4} K + \frac{x^{2} K^{2}}{3} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Schritt 3.3.2.1.2.7

Wende die Produktregel auf $\frac{K}{3}$ an.

$y - 1 = x^{6} + x^{4} K + \frac{x^{2} K^{2}}{3} + \frac{K^{3}}{3^{3}}$

Schritt 3.3.2.1.2.8

Potenziere $3$ mit $3$ .

$y - 1 = x^{6} + x^{4} K + \frac{x^{2} K^{2}}{3} + \frac{K^{3}}{27}$

Schritt 3.4

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = x^{6} + x^{4} K + \frac{x^{2} K^{2}}{3} + \frac{K^{3}}{27} + 1$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = x^{6} + x^{4} K + \frac{x^{2} K}{3} + K$