Analysis Beispiele

$\frac{d x}{d t} = 4 (x^{2} + 1)$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + 1} (4 (x^{2} + 1))$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = 4 \frac{1}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1)$

Schritt 1.2.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{4}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1)$

Schritt 1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + 1$ .

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Schritt 1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{4}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1)$

Schritt 1.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = 4$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{x^{2} + 1} d x = 4 d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{x^{2} + 1} d x = \int 4 d t$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1.1

Stelle $x^{2}$ und $1$ um.

$\int \frac{1}{1 + x^{2}} d x = \int 4 d t$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x = \int 4 d t$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ nach $x$ ist $\arctan (x) + C_{1}$ .

$\arctan (x) + C_{1} = \int 4 d t$

Schritt 2.3

Wende die Konstantenregel an.

$\arctan (x) + C_{1} = 4 t + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\arctan (x) = 4 t + K$

Schritt 3

Ziehe den inversen Arkustangens auf beiden Seiten der Gleichung, um $x$ aus dem Inneren des Arkustangens zu extrahieren.

$x = \tan (4 t + K)$