Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 2 x^{3} y$ , $(1, 1)$

Schritt 1

Nehme $\frac{d y}{d x} = f (x, y)$ an.

Schritt 2

Prüfe, ob die Funktion kontinuierlich um den Punkt $(1, 1)$ ist.

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Schritt 2.1

Ersetze $(1, 1)$ Werte in $\frac{d y}{d x} = 2 x^{3} y$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

$2 \cdot 1^{3} y$

Schritt 2.1.2

Ersetze $y$ durch $1$ .

$2 \cdot 1^{3} \cdot 1$

Schritt 2.2

Da es keinen Logarithmus mit negativen Argument oder Null gibt, und auch keine Wurzel mit Null oder einen negativen Radikanden gibt, und keinen Bruch mit Null im Nenner, ist die Funktion kontinuierlich auf dem offenen Intervall um $x$ mit dem Wert $(1, 1)$ .

Stetig

Schritt 3

Ermittle die partiellen Ableitungen nach $y$ .

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Schritt 3.1

Erstelle die partiellen Ableitungen.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{3} y]$

Schritt 3.2

Da $2 x^{3}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{3} y$ nach $y$ gleich $2 x^{3} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{3} \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{3} \cdot 1$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{3}$

Schritt 4

Prüfe, ob die partiellen Ableitungen nach $y$ kontinuierlich um den Punkt $(1, 1)$ sind.

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Schritt 4.1

Stetig

Schritt 5

Beide, die Funktion und ihre partiellen Ableitungen nach $y$ , sind kontinuierlich auf einen offenen Intervall um $x$ im Punkt $(1, 1)$ .

Eine eindeutige Lösung