Analysis Beispiele

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

Schritt 1

Wenn $v = \frac{d y}{d x}$ . Dann $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . Setze $v$ für $\frac{d y}{d x}$ ein und $\frac{d v}{d x}$ für $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ , um eine Differentialgleichung mit der abhängigen Variablen $v$ und unabhängigen Variablen $x$ zu erhalten.

$\frac{d v}{d x} + v = \cos (x)$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = 1$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int d x}$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{x + C_{1}}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{x}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{x}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} \cos (x)$

Schritt 3.2

Stelle die Faktoren in $e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} \cos (x)$ um.

$e^{x} \frac{d v}{d x} + v e^{x} = e^{x} \cos (x)$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{x} v] = e^{x} \cos (x)$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} v] d x = \int e^{x} \cos (x) d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$e^{x} v = \int e^{x} \cos (x) d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Stelle $e^{x}$ und $\cos (x)$ um.

$e^{x} v = \int \cos (x) e^{x} d x$

Schritt 7.2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \cos (x)$ und $d v = e^{x}$ .

$e^{x} v = \cos (x) e^{x} - \int e^{x} (- \sin (x)) d x$

Schritt 7.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{x} v = \cos (x) e^{x} - - \int e^{x} (\sin (x)) d x$

Schritt 7.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{x} v = \cos (x) e^{x} + 1 \int e^{x} (\sin (x)) d x$

Schritt 7.4.2

Mutltipliziere $\int e^{x} (\sin (x)) d x$ mit $1$ .

$e^{x} v = \cos (x) e^{x} + \int e^{x} (\sin (x)) d x$

Schritt 7.4.3

Stelle $e^{x}$ und $\sin (x)$ um.

$e^{x} v = \cos (x) e^{x} + \int \sin (x) e^{x} d x$

Schritt 7.5

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \sin (x)$ und $d v = e^{x}$ .

$e^{x} v = \cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x} - \int e^{x} \cos (x) d x$

Schritt 7.6

Wenn nach $\int e^{x} \cos (x) d x$ aufgelöst wird, erhalten wir $\int e^{x} \cos (x) d x$ = $\frac{\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}}{2}$ .

$e^{x} v = \frac{\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}}{2} + C_{2}$

Schritt 7.7

Schreibe $\frac{\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}}{2} + C_{2}$ als $\frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}) + C_{2}$ um.

$e^{x} v = \frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}) + C_{2}$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $e^{x} v = \frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}) + C_{2}$ durch $e^{x}$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{x} v = \frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}) + C_{2}$ durch $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{\frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x})}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x}$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{\frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x})}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $v$ durch $1$ .

$v = \frac{\frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x})}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.1.1.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}$ heraus.

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Schritt 8.3.1.1.1.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $\cos (x) e^{x}$ heraus.

$v = \frac{\frac{1}{2} (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x})}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Schritt 8.3.1.1.1.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $\sin (x) e^{x}$ heraus.

$v = \frac{\frac{1}{2} (e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x))}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Schritt 8.3.1.1.1.3

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$ heraus.

$v = \frac{\frac{1}{2} (e^{x} (\cos (x) + \sin (x)))}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

$v = \frac{\frac{1}{2} e^{x} (\cos (x) + \sin (x))}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Schritt 8.3.1.1.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{x}$ .

$v = \frac{\frac{e^{x}}{2} (\cos (x) + \sin (x))}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Schritt 8.3.1.2

Faktorisiere $\frac{e^{x}}{2}$ aus $\frac{\frac{e^{x}}{2} (\cos (x) + \sin (x))}{e^{x}}$ heraus.

$v = \frac{e^{x}}{2} \cdot \frac{\cos (x) + \sin (x)}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Schritt 8.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x}$ .

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Schritt 8.3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$v = \frac{e^{x}}{2} \cdot \frac{\cos (x) + \sin (x)}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Schritt 8.3.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$v = \frac{1}{2} (\cos (x) + \sin (x)) + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Schritt 8.3.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$v = \frac{1}{2} \cos (x) + \frac{1}{2} \sin (x) + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Schritt 8.3.1.5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\cos (x)$ .

$v = \frac{\cos (x)}{2} + \frac{1}{2} \sin (x) + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Schritt 8.3.1.6

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sin (x)$ .

$v = \frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Schritt 9

Ersetze alle $v$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Schritt 10

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (\frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C_{2}}{e^{x}}) d x$

Schritt 11

Integriere beide Seiten.

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Schritt 11.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Schritt 11.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{3} = \int \frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Schritt 11.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 11.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{3} = \int \frac{\cos (x)}{2} d x + \int \frac{\sin (x)}{2} d x + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Schritt 11.3.2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} \int \cos (x) d x + \int \frac{\sin (x)}{2} d x + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Schritt 11.3.3

Das Integral von $\cos (x)$ nach $x$ ist $\sin (x)$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \int \frac{\sin (x)}{2} d x + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Schritt 11.3.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} \int \sin (x) d x + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Schritt 11.3.5

Das Integral von $\sin (x)$ nach $x$ ist $- \cos (x)$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Schritt 11.3.6

Da $C_{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $C_{2}$ aus dem Integral.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Schritt 11.3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 11.3.7.1

Kehre das Vorzeichen des Exponenten von $e^{x}$ um und ziehe es aus dem Nenner heraus.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x$

Schritt 11.3.7.2

Vereinfache.

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Schritt 11.3.7.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{x})}^{- 1}$ .

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Schritt 11.3.7.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int 1 e^{x \cdot - 1} d x$

Schritt 11.3.7.2.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int 1 e^{- 1 \cdot x} d x$

Schritt 11.3.7.2.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int 1 e^{- x} d x$

Schritt 11.3.7.2.2

Mutltipliziere $e^{- x}$ mit $1$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int e^{- x} d x$

Schritt 11.3.8

Sei $u = - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 11.3.8.1

Es sei $u = - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 11.3.8.1.1

Differenziere $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 11.3.8.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 11.3.8.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 11.3.8.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 11.3.8.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int - e^{u} d u$

Schritt 11.3.9

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} (- \int e^{u} d u)$

Schritt 11.3.10

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} (- (e^{u} + C_{6}))$

Schritt 11.3.11

Vereinfache.

$y + C_{3} = \frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} + C_{2} (- e^{u}) + C_{7}$

Schritt 11.3.12

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$y + C_{3} = \frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} + C_{2} (- e^{- x}) + C_{7}$

Schritt 11.3.13

Stelle die Terme um.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} \sin (x) - \frac{1}{2} \cos (x) + C_{2} (- e^{- x}) + C_{7}$

Schritt 11.3.14

Stelle die Terme um.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} \sin (x) - \frac{1}{2} \cos (x) - e^{- x} C_{2} + C_{7}$

Schritt 11.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $D$ zusammen.

$y = \frac{1}{2} \sin (x) - \frac{1}{2} \cos (x) - e^{- x} C + D$