Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{10 y} - \frac{2 x}{5 y}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Faktorisiere.

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Schritt 1.1.1

Um $- \frac{2 x}{5 y}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{10 y} - \frac{2 x}{5 y} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 1.1.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $10 y$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{2 x}{5 y}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{10 y} - \frac{2 x \cdot 2}{5 y \cdot 2}$

Schritt 1.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{10 y} - \frac{2 x \cdot 2}{10 y}$

Schritt 1.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} - 2 x \cdot 2}{10 y}$

Schritt 1.1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.4.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - 2 x \cdot 2$ heraus.

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Schritt 1.1.4.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x - 2 x \cdot 2}{10 y}$

Schritt 1.1.4.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x \cdot 2$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x + x (- 2 \cdot 2)}{10 y}$

Schritt 1.1.4.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x (- 2 \cdot 2)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (x - 2 \cdot 2)}{10 y}$

Schritt 1.1.4.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (x - 4)}{10 y}$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x (x - 4)}{10 y}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $y$ aus $10 y$ heraus.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x (x - 4)}{y \cdot 10}$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x (x - 4)}{y \cdot 10}$

Schritt 1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x (x - 4)}{10}$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$y d y = \frac{x (x - 4)}{10} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y d y = \int \frac{x (x - 4)}{10} d x$

Schritt 2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x (x - 4)}{10} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $\frac{1}{10}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{10}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} \int x (x - 4) d x$

Schritt 2.3.2

Multipliziere $x (x - 4)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} \int x \cdot x + x \cdot - 4 d x$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} \int x^{1} x + x \cdot - 4 d x$

Schritt 2.3.3.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} \int x^{1} x^{1} + x \cdot - 4 d x$

Schritt 2.3.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} \int x^{1 + 1} + x \cdot - 4 d x$

Schritt 2.3.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} \int x^{2} + x \cdot - 4 d x$

Schritt 2.3.3.5

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} \int x^{2} - 4 x d x$

Schritt 2.3.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} (\int x^{2} d x + \int - 4 x d x)$

Schritt 2.3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int - 4 x d x)$

Schritt 2.3.6

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 4$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - 4 \int x d x)$

Schritt 2.3.7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}))$

Schritt 2.3.8

Vereinfache.

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Schritt 2.3.8.1

Vereinfache.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} (\frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2}) + C_{4}$

Schritt 2.3.8.2

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} (\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2}) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{10} (\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2}) + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{10} (\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2}) + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{10} (\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2}) + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{10} (\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2}) + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{10} (\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2}) + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{10} (\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2}) + K)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1}{10} (\frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2}) + K)$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{10} (- 2 x^{2}) + K)$

Schritt 3.2.2.1.1.3

Kombinieren.

$y^{2} = 2 (\frac{1 x^{3}}{10 \cdot 3} + \frac{1}{10} (- 2 x^{2}) + K)$

Schritt 3.2.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$y^{2} = 2 (\frac{1 x^{3}}{10 \cdot 3} + \frac{1}{2 (5)} (- 2 x^{2}) + K)$

Schritt 3.2.2.1.1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$y^{2} = 2 (\frac{1 x^{3}}{10 \cdot 3} + \frac{1}{2 (5)} (2 (- x^{2})) + K)$

Schritt 3.2.2.1.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} = 2 (\frac{1 x^{3}}{10 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 5} (2 (- x^{2})) + K)$

Schritt 3.2.2.1.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 2 (\frac{1 x^{3}}{10 \cdot 3} + \frac{1}{5} (- x^{2}) + K)$

Schritt 3.2.2.1.1.5

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1 x^{3}}{10 \cdot 3} - \frac{x^{2}}{5} + K)$

Schritt 3.2.2.1.1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.1.6.1

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $1$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{3}}{10 \cdot 3} - \frac{x^{2}}{5} + K)$

Schritt 3.2.2.1.1.6.2

Mutltipliziere $10$ mit $3$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{3}}{30} - \frac{x^{2}}{5} + K)$

Schritt 3.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} = 2 \frac{x^{3}}{30} + 2 (- \frac{x^{2}}{5}) + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3

Vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $30$ heraus.

$y^{2} = 2 \frac{x^{3}}{2 (15)} + 2 (- \frac{x^{2}}{5}) + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} = 2 \frac{x^{3}}{2 \cdot 15} + 2 (- \frac{x^{2}}{5}) + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = \frac{x^{3}}{15} + 2 (- \frac{x^{2}}{5}) + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Multipliziere $2 (- \frac{x^{2}}{5})$ .

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Schritt 3.2.2.1.3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y^{2} = \frac{x^{3}}{15} - 2 \frac{x^{2}}{5} + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3.2.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{x^{2}}{5}$ .

$y^{2} = \frac{x^{3}}{15} + \frac{- 2 x^{2}}{5} + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{2} = \frac{x^{3}}{15} - \frac{2 x^{2}}{5} + 2 K$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3}}{15} - \frac{2 x^{2}}{5} + 2 K}$

Schritt 3.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{x^{3}}{15} - \frac{2 x^{2}}{5} + 2 K}$ .

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Schritt 3.4.1

Um $- \frac{2 x^{2}}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3}}{15} - \frac{2 x^{2}}{5} \cdot \frac{3}{3} + 2 K}$

Schritt 3.4.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $15$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.4.2.1

Mutltipliziere $\frac{2 x^{2}}{5}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3}}{15} - \frac{2 x^{2} \cdot 3}{5 \cdot 3} + 2 K}$

Schritt 3.4.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3}}{15} - \frac{2 x^{2} \cdot 3}{15} + 2 K}$

Schritt 3.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3} - 2 x^{2} \cdot 3}{15} + 2 K}$

Schritt 3.4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.4.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3} - 2 x^{2} \cdot 3$ heraus.

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Schritt 3.4.4.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} x - 2 x^{2} \cdot 3}{15} + 2 K}$

Schritt 3.4.4.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 2 x^{2} \cdot 3$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} x + x^{2} (- 2 \cdot 3)}{15} + 2 K}$

Schritt 3.4.4.1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} x + x^{2} (- 2 \cdot 3)$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (x - 2 \cdot 3)}{15} + 2 K}$

Schritt 3.4.4.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (x - 6)}{15} + 2 K}$

Schritt 3.4.5

Um $2 K$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{15}{15}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (x - 6)}{15} + 2 K \cdot \frac{15}{15}}$

Schritt 3.4.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.4.6.1

Kombiniere $2 K$ und $\frac{15}{15}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (x - 6)}{15} + \frac{2 K \cdot 15}{15}}$

Schritt 3.4.6.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (x - 6) + 2 K \cdot 15}{15}}$

Schritt 3.4.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} x + x^{2} \cdot - 6 + 2 K \cdot 15}{15}}$

Schritt 3.4.7.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.7.2.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 3.4.7.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 6 + 2 K \cdot 15}{15}}$

Schritt 3.4.7.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 6 + 2 K \cdot 15}{15}}$

Schritt 3.4.7.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3} + x^{2} \cdot - 6 + 2 K \cdot 15}{15}}$

Schritt 3.4.7.3

Bringe $- 6$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3} - 6 \cdot x^{2} + 2 K \cdot 15}{15}}$

Schritt 3.4.7.4

Mutltipliziere $15$ mit $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K}{15}}$

Schritt 3.4.8

Schreibe $\sqrt{\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K}{15}}$ als $\frac{\sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K}}{\sqrt{15}}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K}}{\sqrt{15}}$

Schritt 3.4.9

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K}}{\sqrt{15}}$ mit $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K}}{\sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$

Schritt 3.4.10

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.10.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K}}{\sqrt{15}}$ mit $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K} \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Schritt 3.4.10.2

Potenziere $\sqrt{15}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K} \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1} \sqrt{15}}$

Schritt 3.4.10.3

Potenziere $\sqrt{15}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K} \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1} {\sqrt{15}}^{1}}$

Schritt 3.4.10.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K} \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.4.10.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K} \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{2}}$

Schritt 3.4.10.6

Schreibe ${\sqrt{15}}^{2}$ als $15$ um.

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Schritt 3.4.10.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{15}$ als $15^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K} \sqrt{15}}{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.4.10.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K} \sqrt{15}}{15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.4.10.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K} \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.10.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.10.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K} \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.10.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K} \sqrt{15}}{15^{1}}$

Schritt 3.4.10.6.5

Berechne den Exponenten.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K} \sqrt{15}}{15}$

Schritt 3.4.11

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x^{3} - 6 x^{2} + 30 K) \cdot 15}}{15}$

Schritt 3.4.12

Stelle die Faktoren in $\pm \frac{\sqrt{(x^{3} - 6 x^{2} + 30 K) \cdot 15}}{15}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt{15 (x^{3} - 6 x^{2} + 30 K)}}{15}$

Schritt 3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{\sqrt{15 (x^{3} - 6 x^{2} + 30 K)}}{15}$

Schritt 3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{\sqrt{15 (x^{3} - 6 x^{2} + 30 K)}}{15}$

Schritt 3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{\sqrt{15 (x^{3} - 6 x^{2} + 30 K)}}{15}$

$y = - \frac{\sqrt{15 (x^{3} - 6 x^{2} + 30 K)}}{15}$

$y = \frac{\sqrt{15 (x^{3} - 6 x^{2} + 30 K)}}{15}$

$y = - \frac{\sqrt{15 (x^{3} - 6 x^{2} + 30 K)}}{15}$

$y = \frac{\sqrt{15 (x^{3} - 6 x^{2} + 30 K)}}{15}$

$y = - \frac{\sqrt{15 (x^{3} - 6 x^{2} + 30 K)}}{15}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\sqrt{15 (x^{3} - 6 x^{2} + K)}}{15}$

$y = - \frac{\sqrt{15 (x^{3} - 6 x^{2} + K)}}{15}$