Analysis Beispiele

$\cos (x) \frac{d y}{d x} + y + 3 = 0$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

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Schritt 1.1.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.1.1

Stelle die Faktoren in $\cos (x) \frac{d y}{d x} + y + 3$ um.

$\frac{d y}{d x} \cos (x) + y + 3 = 0$

Schritt 1.1.2

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d y}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.2.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} \cos (x) + 3 = - y$

Schritt 1.1.2.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} \cos (x) = - y - 3$

Schritt 1.1.3

Teile jeden Ausdruck in $\frac{d y}{d x} \cos (x) = - y - 3$ durch $\cos (x)$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $\frac{d y}{d x} \cos (x) = - y - 3$ durch $\cos (x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{- y}{\cos (x)} + \frac{- 3}{\cos (x)}$

Schritt 1.1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 1.1.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{- y}{\cos (x)} + \frac{- 3}{\cos (x)}$

Schritt 1.1.3.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y}{\cos (x)} + \frac{- 3}{\cos (x)}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{\cos (x)} + \frac{- 3}{\cos (x)}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Separiere Brüche.

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{y}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) + \frac{- 3}{\cos (x)}$

Schritt 1.1.3.3.1.3

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{y}{1} \sec (x)) + \frac{- 3}{\cos (x)}$

Schritt 1.1.3.3.1.4

Dividiere $y$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - (y \sec (x)) + \frac{- 3}{\cos (x)}$

Schritt 1.1.3.3.1.5

Separiere Brüche.

$\frac{d y}{d x} = - y \sec (x) + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 1.1.3.3.1.6

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$\frac{d y}{d x} = - y \sec (x) + \frac{- 3}{1} \sec (x)$

Schritt 1.1.3.3.1.7

Dividiere $- 3$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - y \sec (x) - 3 \sec (x)$

Schritt 1.2

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $- y \sec (x) - 3 \sec (x)$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $- y \sec (x)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \sec (x) (- y) - 3 \sec (x)$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $- 3 \sec (x)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \sec (x) (- y) + \sec (x) \cdot - 3$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $\sec (x) (- y) + \sec (x) \cdot - 3$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \sec (x) (- y - 3)$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{- y - 3}$ .

$\frac{1}{- y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- y - 3} (\sec (x) (- y - 3))$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- y - 3$ .

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $- y - 3$ aus $\sec (x) (- y - 3)$ heraus.

$\frac{1}{- y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- y - 3} ((- y - 3) \sec (x))$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{- y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- y - 3} ((- y - 3) \sec (x))$

Schritt 1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{- y - 3} \frac{d y}{d x} = \sec (x)$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{- y - 3} d y = \sec (x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{- y - 3} d y = \int \sec (x) d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u = - y - 3$ . Dann ist $d u = - d y$ , folglich $- d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u = - y - 3$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Forme um.

$\frac{- 1}{1}$

Schritt 2.2.1.1.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int \sec (x) d x$

Schritt 2.2.2

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int \sec (x) d x$

Schritt 2.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \sec (x) d x$

Schritt 2.2.4

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \sec (x) d x$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \sec (x) d x$

Schritt 2.2.6

Ersetze alle $u$ durch $- y - 3$ .

$- \ln (| - y - 3 |) + C_{1} = \int \sec (x) d x$

Schritt 2.3

Das Integral von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$- \ln (| - y - 3 |) + C_{1} = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \ln (| - y - 3 |) = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$- \ln (| - y - 3 |) - \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) = C$

Schritt 3.2

Addiere $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- \ln (| - y - 3 |) = C + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (| - y - 3 |) = C + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (| - y - 3 |) = C + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ durch $- 1$ .

$\frac{- \ln (| - y - 3 |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{- 1}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\ln (| - y - 3 |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{- 1}$

Schritt 3.3.2.2

Dividiere $\ln (| - y - 3 |)$ durch $1$ .

$\ln (| - y - 3 |) = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{- 1}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| - y - 3 |) = - 1 \cdot C + \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{- 1}$

Schritt 3.3.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot C$ als $- C$ um.

$\ln (| - y - 3 |) = - C + \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{- 1}$

Schritt 3.3.3.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{- 1}$ .

$\ln (| - y - 3 |) = - C - 1 \cdot \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$

Schritt 3.3.3.1.4

Schreibe $- 1 \cdot \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ als $- \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ um.

$\ln (| - y - 3 |) = - C - \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$

Schritt 3.4

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| - y - 3 |) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) = - C$

Schritt 3.5

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| - y - 3 | | \sec (x) + \tan (x) |) = - C$

Schritt 3.6

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$\ln (| (- y - 3) (\sec (x) + \tan (x)) |) = - C$

Schritt 3.7

Multipliziere $(- y - 3) (\sec (x) + \tan (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| - y (\sec (x) + \tan (x)) - 3 (\sec (x) + \tan (x)) |) = - C$

Schritt 3.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| - y \sec (x) - y \tan (x) - 3 (\sec (x) + \tan (x)) |) = - C$

Schritt 3.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| - y \sec (x) - y \tan (x) - 3 \sec (x) - 3 \tan (x) |) = - C$

Schritt 3.8

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| - y \sec (x) - y \tan (x) - 3 \sec (x) - 3 \tan (x) |)} = e^{- C}$

Schritt 3.9

Schreibe $\ln (| - y \sec (x) - y \tan (x) - 3 \sec (x) - 3 \tan (x) |) = - C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = | - y \sec (x) - y \tan (x) - 3 \sec (x) - 3 \tan (x) |$

Schritt 3.10

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.10.1

Schreibe die Gleichung als $| - y \sec (x) - y \tan (x) - 3 \sec (x) - 3 \tan (x) | = e^{- C}$ um.

$| - y \sec (x) - y \tan (x) - 3 \sec (x) - 3 \tan (x) | = e^{- C}$

Schritt 3.10.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$- y \sec (x) - y \tan (x) - 3 \sec (x) - 3 \tan (x) = \pm e^{- C}$

Schritt 3.10.3

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.10.3.1

Addiere $3 \sec (x)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- y \sec (x) - y \tan (x) - 3 \tan (x) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x)$

Schritt 3.10.3.2

Addiere $3 \tan (x)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- y \sec (x) - y \tan (x) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x) + 3 \tan (x)$

Schritt 3.10.4

Faktorisiere $y$ aus $- y \sec (x) - y \tan (x)$ heraus.

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Schritt 3.10.4.1

Faktorisiere $y$ aus $- y \sec (x)$ heraus.

$y (- 1 \sec (x)) - y \tan (x) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x) + 3 \tan (x)$

Schritt 3.10.4.2

Faktorisiere $y$ aus $- y \tan (x)$ heraus.

$y (- 1 \sec (x)) + y (- 1 \tan (x)) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x) + 3 \tan (x)$

Schritt 3.10.4.3

Faktorisiere $y$ aus $y (- 1 \sec (x)) + y (- 1 \tan (x))$ heraus.

$y (- 1 \sec (x) - 1 \tan (x)) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x) + 3 \tan (x)$

Schritt 3.10.5

Schreibe $- 1 \sec (x)$ als $- \sec (x)$ um.

$y (- \sec (x) - 1 \tan (x)) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x) + 3 \tan (x)$

Schritt 3.10.6

Schreibe $- 1 \tan (x)$ als $- \tan (x)$ um.

$y (- \sec (x) - \tan (x)) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x) + 3 \tan (x)$

Schritt 3.10.7

Teile jeden Ausdruck in $y (- \sec (x) - \tan (x)) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x) + 3 \tan (x)$ durch $- \sec (x) - \tan (x)$ und vereinfache.

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Schritt 3.10.7.1

Teile jeden Ausdruck in $y (- \sec (x) - \tan (x)) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x) + 3 \tan (x)$ durch $- \sec (x) - \tan (x)$ .

$\frac{y (- \sec (x) - \tan (x))}{- \sec (x) - \tan (x)} = \frac{\pm e^{- C}}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \sec (x)}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Schritt 3.10.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.10.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- \sec (x) - \tan (x)$ .

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Schritt 3.10.7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (- \sec (x) - \tan (x))}{- \sec (x) - \tan (x)} = \frac{\pm e^{- C}}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \sec (x)}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Schritt 3.10.7.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \sec (x)}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Schritt 3.10.7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.10.7.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.10.7.3.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sec (x) - \tan (x)$ heraus.

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Schritt 3.10.7.3.1.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sec (x)$ heraus.

$y = \frac{\pm e^{- C}}{- (\sec (x)) - \tan (x)} + \frac{3 \sec (x)}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Schritt 3.10.7.3.1.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \tan (x)$ heraus.

$y = \frac{\pm e^{- C}}{- (\sec (x)) - (\tan (x))} + \frac{3 \sec (x)}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Schritt 3.10.7.3.1.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\sec (x)) - (\tan (x))$ heraus.

$y = \frac{\pm e^{- C}}{- (\sec (x) + \tan (x))} + \frac{3 \sec (x)}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Schritt 3.10.7.3.1.2

Vereinfache $\frac{\pm e^{- C}}{- (\sec (x) + \tan (x))}$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{3 \sec (x)}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Schritt 3.10.7.3.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sec (x) - \tan (x)$ heraus.

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Schritt 3.10.7.3.1.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sec (x)$ heraus.

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{3 \sec (x)}{- (\sec (x)) - \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Schritt 3.10.7.3.1.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \tan (x)$ heraus.

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{3 \sec (x)}{- (\sec (x)) - (\tan (x))} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Schritt 3.10.7.3.1.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\sec (x)) - (\tan (x))$ heraus.

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{3 \sec (x)}{- (\sec (x) + \tan (x))} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Schritt 3.10.7.3.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{3 \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Schritt 3.10.7.3.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sec (x) - \tan (x)$ heraus.

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Schritt 3.10.7.3.1.5.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sec (x)$ heraus.

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{3 \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- (\sec (x)) - \tan (x)}$

Schritt 3.10.7.3.1.5.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \tan (x)$ heraus.

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{3 \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- (\sec (x)) - (\tan (x))}$

Schritt 3.10.7.3.1.5.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\sec (x)) - (\tan (x))$ heraus.

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{3 \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- (\sec (x) + \tan (x))}$

Schritt 3.10.7.3.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{3 \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{3 \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Schritt 3.10.7.3.2

Kombiniere zu einem Bruch.

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Schritt 3.10.7.3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\pm e^{- C} - 3 \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{3 \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Schritt 3.10.7.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\pm e^{- C} - 3 \sec (x) - 3 \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{C - 3 \sec (x) - 3 \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$