Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + y = x y^{3}$

Schritt 1

Um die Differentialgleichung zu lösen, sei $v = y^{1 - n}$ wo $n$ der Exponent von $y^{3}$ ist.

$v = y^{- 2}$

Schritt 2

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

$y = v^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 3

Nimm die Ableitung von $y$ in Gedenken an $x$ .

$y' = v^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 4

Nimm die Ableitung von $v^{- \frac{1}{2}}$ in Gedenken an $x$ .

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Schritt 4.1

Nimm die Ableitung von $v^{- \frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{2}}]$

Schritt 4.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1$ und $g (x) = v^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(v^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{1}}$

Schritt 4.5

Vereinfache.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Schritt 4.6

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.6.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Schritt 4.6.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.6.2.1

Mutltipliziere $v^{\frac{1}{2}}$ mit $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Schritt 4.6.2.2

Subtrahiere $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]$ von $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Schritt 4.6.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Schritt 4.7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = v$ .

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Schritt 4.7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Schritt 4.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Schritt 4.7.3

Ersetze alle $u$ durch $v$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Schritt 4.8

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Schritt 4.9

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Schritt 4.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Schritt 4.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Schritt 4.11.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Schritt 4.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Schritt 4.13

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $v^{- \frac{1}{2}}$ .

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Schritt 4.14

Bringe $v^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Schritt 4.15

Schreibe $\frac{d}{d x} [v]$ als $v'$ um.

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} v'}{v}$

Schritt 4.16

Kombiniere $\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ und $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$

Schritt 4.17

Schreibe $\frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$ als ein Produkt um.

$y' = - (\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{v})$

Schritt 4.18

Mutltipliziere $\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{v}$ .

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}} v}$

Schritt 4.19

Potenziere $v$ mit $1$ .

$y' = - \frac{v'}{2 (v^{1} v^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 4.20

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{1 + \frac{1}{2}}}$

Schritt 4.21

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Schritt 4.22

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Schritt 4.23

Addiere $2$ und $1$ .

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 5

Setze $- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ für $\frac{d y}{d x}$ und $v^{- \frac{1}{2}}$ für $y$ in die ursprüngliche Gleichung $\frac{d y}{d x} + y = x y^{3}$ ein.

$- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}} + v^{- \frac{1}{2}} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$

Schritt 6

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 6.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} + v^{- \frac{1}{2}} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ mit $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 6.1.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} + v^{- \frac{1}{2}} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ mit $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) + v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 6.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 v^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 6.1.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ in den Zähler.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) + v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 6.1.2.1.1.2

Faktorisiere $2 v^{\frac{3}{2}}$ aus $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ heraus.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}} (- 1)) + v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 6.1.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}} \cdot - 1) + v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 6.1.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 6.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 6.1.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{d v}{d x}$ mit $1$ .

$\frac{d v}{d x} + v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 6.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 v^{- \frac{1}{2}} v^{\frac{3}{2}} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 6.1.2.1.5

Multipliziere $v^{- \frac{1}{2}}$ mit $v^{\frac{3}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.2.1.5.1

Bewege $v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 (v^{\frac{3}{2}} v^{- \frac{1}{2}}) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 6.1.2.1.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 v^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 6.1.2.1.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 v^{\frac{3 - 1}{2}} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 6.1.2.1.5.4

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 v^{\frac{2}{2}} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 6.1.2.1.5.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 v^{1} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 6.1.2.1.6

Vereinfache $- 1 \cdot 2 v^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 v = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 6.1.2.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 v = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 6.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 1 \cdot 2 x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} v^{\frac{3}{2}}$

Schritt 6.1.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} v^{\frac{3}{2}}$

Schritt 6.1.3.3

Multipliziere die Exponenten in ${(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ .

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Schritt 6.1.3.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x v^{- \frac{1}{2} \cdot 3} v^{\frac{3}{2}}$

Schritt 6.1.3.3.2

Multipliziere $- \frac{1}{2} \cdot 3$ .

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Schritt 6.1.3.3.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x v^{- 3 (\frac{1}{2})} v^{\frac{3}{2}}$

Schritt 6.1.3.3.2.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x v^{\frac{- 3}{2}} v^{\frac{3}{2}}$

Schritt 6.1.3.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x v^{- \frac{3}{2}} v^{\frac{3}{2}}$

Schritt 6.1.3.4

Multipliziere $v^{- \frac{3}{2}}$ mit $v^{\frac{3}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.3.4.1

Bewege $v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x (v^{\frac{3}{2}} v^{- \frac{3}{2}})$

Schritt 6.1.3.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x v^{\frac{3}{2} - \frac{3}{2}}$

Schritt 6.1.3.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x v^{\frac{3 - 3}{2}}$

Schritt 6.1.3.4.4

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x v^{\frac{0}{2}}$

Schritt 6.1.3.4.5

Dividiere $0$ durch $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x v^{0}$

Schritt 6.1.3.5

Vereinfache $- 2 x v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x$

Schritt 6.2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = - 2$ gilt.

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Schritt 6.2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int - 2 d x}$

Schritt 6.2.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{- 2 x + C}$

Schritt 6.2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- 2 x}$

Schritt 6.3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- 2 x}$ .

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Schritt 6.3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} \frac{d v}{d x} + e^{- 2 x} (- 2 v) = e^{- 2 x} (- 2 x)$

Schritt 6.3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{- 2 x} \frac{d v}{d x} - 2 e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} (- 2 x)$

Schritt 6.3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{- 2 x} \frac{d v}{d x} - 2 e^{- 2 x} v = - 2 e^{- 2 x} x$

Schritt 6.3.4

Stelle die Faktoren in $e^{- 2 x} \frac{d v}{d x} - 2 e^{- 2 x} v = - 2 e^{- 2 x} x$ um.

$e^{- 2 x} \frac{d v}{d x} - 2 v e^{- 2 x} = - 2 x e^{- 2 x}$

Schritt 6.4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{- 2 x} v] = - 2 x e^{- 2 x}$

Schritt 6.5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 2 x} v] d x = \int - 2 x e^{- 2 x} d x$

Schritt 6.6

Integriere die linke Seite.

$e^{- 2 x} v = \int - 2 x e^{- 2 x} d x$

Schritt 6.7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.7.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$e^{- 2 x} v = - 2 \int x e^{- 2 x} d x$

Schritt 6.7.2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Schritt 6.7.3

Vereinfache.

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Schritt 6.7.3.1

Kombiniere $e^{- 2 x}$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (x (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Schritt 6.7.3.2

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Schritt 6.7.3.3

Kombiniere $e^{- 2 x}$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Schritt 6.7.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - - \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Schritt 6.7.5

Vereinfache.

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Schritt 6.7.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 1 \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Schritt 6.7.5.2

Mutltipliziere $\int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$ mit $1$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Schritt 6.7.6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

Schritt 6.7.7

Sei $u = - 2 x$ . Dann ist $d u = - 2 d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.7.7.1

Es sei $u = - 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.7.7.1.1

Differenziere $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 6.7.7.1.2

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6.7.7.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Schritt 6.7.7.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2$

Schritt 6.7.7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u)$

Schritt 6.7.8

Vereinfache.

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Schritt 6.7.8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u)$

Schritt 6.7.8.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u)$

Schritt 6.7.9

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u))$

Schritt 6.7.10

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)))$

Schritt 6.7.11

Vereinfache.

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Schritt 6.7.11.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Schritt 6.7.11.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Schritt 6.7.12

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Schritt 6.7.13

Vereinfache.

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Schritt 6.7.13.1

Schreibe $- 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ als $- 2 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ um.

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Schritt 6.7.13.2

Vereinfache.

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Schritt 6.7.13.2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Schritt 6.7.13.2.2

Kombiniere $e^{- 2 x}$ und $\frac{x}{2}$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Schritt 6.7.13.2.3

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{u}}{4}) + C$

Schritt 6.7.14

Ersetze alle $u$ durch $- 2 x$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Schritt 6.7.15

Vereinfache.

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Schritt 6.7.15.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2}) - 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Schritt 6.7.15.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.7.15.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{e^{- 2 x} x}{2}$ in den Zähler.

$e^{- 2 x} v = - 2 \frac{- e^{- 2 x} x}{2} - 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Schritt 6.7.15.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$e^{- 2 x} v = 2 (- 1) \frac{- e^{- 2 x} x}{2} - 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Schritt 6.7.15.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{- 2 x} v = 2 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 x} x}{2} - 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Schritt 6.7.15.2.4

Forme den Ausdruck um.

$e^{- 2 x} v = - (- e^{- 2 x} x) - 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Schritt 6.7.15.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{- 2 x} v = 1 (e^{- 2 x} x) - 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Schritt 6.7.15.4

Mutltipliziere $e^{- 2 x}$ mit $1$ .

$e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} x - 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Schritt 6.7.15.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.7.15.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{e^{- 2 x}}{4}$ in den Zähler.

$e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} x - 2 \frac{- e^{- 2 x}}{4} + C$

Schritt 6.7.15.5.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} x + 2 (- 1) \frac{- e^{- 2 x}}{4} + C$

Schritt 6.7.15.5.3

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} x + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 x}}{2 \cdot 2} + C$

Schritt 6.7.15.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} x + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 x}}{2 \cdot 2} + C$

Schritt 6.7.15.5.5

Forme den Ausdruck um.

$e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} x - \frac{- e^{- 2 x}}{2} + C$

Schritt 6.7.15.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.7.15.6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} x - - \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Schritt 6.7.15.6.2

Multipliziere $- - \frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

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Schritt 6.7.15.6.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} x + 1 \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Schritt 6.7.15.6.2.2

Mutltipliziere $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ mit $1$ .

$e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} x + \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Schritt 6.7.15.7

Vereinige $e^{- 2 x} x$ und $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ mithilfe eines gemeinsamen Nenners.

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Schritt 6.7.15.7.1

Stelle $e^{- 2 x}$ und $x$ um.

$e^{- 2 x} v = x e^{- 2 x} + \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Schritt 6.7.15.7.2

Um $x e^{- 2 x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$e^{- 2 x} v = x e^{- 2 x} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Schritt 6.7.15.7.3

Kombiniere $x e^{- 2 x}$ und $\frac{2}{2}$ .

$e^{- 2 x} v = \frac{x e^{- 2 x} \cdot 2}{2} + \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Schritt 6.7.15.7.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e^{- 2 x} v = \frac{x e^{- 2 x} \cdot 2 + e^{- 2 x}}{2} + C$

Schritt 6.7.15.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.7.15.8.1

Faktorisiere $e^{- 2 x}$ aus $x e^{- 2 x} \cdot 2 + e^{- 2 x}$ heraus.

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Schritt 6.7.15.8.1.1

Faktorisiere $e^{- 2 x}$ aus $x e^{- 2 x} \cdot 2$ heraus.

$e^{- 2 x} v = \frac{e^{- 2 x} (x \cdot 2) + e^{- 2 x}}{2} + C$

Schritt 6.7.15.8.1.2

Multipliziere mit $1$ .

$e^{- 2 x} v = \frac{e^{- 2 x} (x \cdot 2) + e^{- 2 x} \cdot 1}{2} + C$

Schritt 6.7.15.8.1.3

Faktorisiere $e^{- 2 x}$ aus $e^{- 2 x} (x \cdot 2) + e^{- 2 x} \cdot 1$ heraus.

$e^{- 2 x} v = \frac{e^{- 2 x} (x \cdot 2 + 1)}{2} + C$

Schritt 6.7.15.8.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$e^{- 2 x} v = \frac{e^{- 2 x} (2 x + 1)}{2} + C$

$e^{- 2 x} v = \frac{1}{2} e^{- 2 x} (2 x + 1) + C$

Schritt 6.8

Teile jeden Ausdruck in $e^{- 2 x} v = \frac{1}{2} \cdot (e^{- 2 x} (2 x + 1)) + C$ durch $e^{- 2 x}$ und vereinfache.

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Schritt 6.8.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{- 2 x} v = \frac{1}{2} \cdot (e^{- 2 x} (2 x + 1)) + C$ durch $e^{- 2 x}$ .

$\frac{e^{- 2 x} v}{e^{- 2 x}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{- 2 x} (2 x + 1))}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 6.8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- 2 x}$ .

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Schritt 6.8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{- 2 x} v}{e^{- 2 x}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{- 2 x} (2 x + 1))}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 6.8.2.1.2

Dividiere $v$ durch $1$ .

$v = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{- 2 x} (2 x + 1))}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 6.8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.8.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$v = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{- 2 x} (2 x + 1)) + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 6.8.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.8.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$v = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{- 2 x} (2 x) + e^{- 2 x} \cdot 1) + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 6.8.3.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$v = \frac{\frac{1}{2} \cdot (2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x} \cdot 1) + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 6.8.3.2.3

Mutltipliziere $e^{- 2 x}$ mit $1$ .

$v = \frac{\frac{1}{2} \cdot (2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x}) + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 6.8.3.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$v = \frac{\frac{1}{2} (2 e^{- 2 x} x) + \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 6.8.3.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.8.3.2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 e^{- 2 x} x$ heraus.

$v = \frac{\frac{1}{2} (2 (e^{- 2 x} x)) + \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 6.8.3.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$v = \frac{\frac{1}{2} (2 (e^{- 2 x} x)) + \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 6.8.3.2.5.3

Forme den Ausdruck um.

$v = \frac{e^{- 2 x} x + \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 6.8.3.2.6

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{- 2 x}$ .

$v = \frac{e^{- 2 x} x + \frac{e^{- 2 x}}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 6.8.3.2.7

Vereinige $e^{- 2 x} x$ und $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ mithilfe eines gemeinsamen Nenners.

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Schritt 6.8.3.2.7.1

Stelle $e^{- 2 x}$ und $x$ um.

$v = \frac{x e^{- 2 x} + \frac{e^{- 2 x}}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 6.8.3.2.7.2

Um $x e^{- 2 x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$v = \frac{x e^{- 2 x} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{- 2 x}}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 6.8.3.2.7.3

Kombiniere $x e^{- 2 x}$ und $\frac{2}{2}$ .

$v = \frac{\frac{x e^{- 2 x} \cdot 2}{2} + \frac{e^{- 2 x}}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 6.8.3.2.7.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$v = \frac{\frac{x e^{- 2 x} \cdot 2 + e^{- 2 x}}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 6.8.3.2.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.8.3.2.8.1

Faktorisiere $e^{- 2 x}$ aus $x e^{- 2 x} \cdot 2 + e^{- 2 x}$ heraus.

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Schritt 6.8.3.2.8.1.1

Faktorisiere $e^{- 2 x}$ aus $x e^{- 2 x} \cdot 2$ heraus.

$v = \frac{\frac{e^{- 2 x} (x \cdot 2) + e^{- 2 x}}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 6.8.3.2.8.1.2

Multipliziere mit $1$ .

$v = \frac{\frac{e^{- 2 x} (x \cdot 2) + e^{- 2 x} \cdot 1}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 6.8.3.2.8.1.3

Faktorisiere $e^{- 2 x}$ aus $e^{- 2 x} (x \cdot 2) + e^{- 2 x} \cdot 1$ heraus.

$v = \frac{\frac{e^{- 2 x} (x \cdot 2 + 1)}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 6.8.3.2.8.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$v = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x + 1)}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 6.8.3.3

Um $C$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$v = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x + 1)}{2} + C \cdot \frac{2}{2}}{e^{- 2 x}}$

Schritt 6.8.3.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.8.3.4.1

Kombiniere $C$ und $\frac{2}{2}$ .

$v = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x + 1)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2}}{e^{- 2 x}}$

Schritt 6.8.3.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$v = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x + 1) + C \cdot 2}{2}}{e^{- 2 x}}$

Schritt 6.8.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.8.3.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$v = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x) + e^{- 2 x} \cdot 1 + C \cdot 2}{2}}{e^{- 2 x}}$

Schritt 6.8.3.5.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$v = \frac{\frac{2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x} \cdot 1 + C \cdot 2}{2}}{e^{- 2 x}}$

Schritt 6.8.3.5.3

Mutltipliziere $e^{- 2 x}$ mit $1$ .

$v = \frac{\frac{2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x} + C \cdot 2}{2}}{e^{- 2 x}}$

Schritt 6.8.3.5.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $C$ .

$v = \frac{\frac{2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x} + 2 C}{2}}{e^{- 2 x}}$

Schritt 6.8.3.6

Stelle die Faktoren in $\frac{2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x} + 2 C}{2}$ um.

$v = \frac{\frac{2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + 2 C}{2}}{e^{- 2 x}}$

Schritt 6.8.3.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$v = \frac{2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + 2 C}{2} \cdot \frac{1}{e^{- 2 x}}$

Schritt 6.8.3.8

Mutltipliziere $\frac{2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + 2 C}{2}$ mit $\frac{1}{e^{- 2 x}}$ .

$v = \frac{2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + 2 C}{2 e^{- 2 x}}$

Schritt 7

Ersetze $v$ durch $y^{- 2}$ .

$y^{- 2} = \frac{2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + 2 C}{2 e^{- 2 x}}$