Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} - 1 = 2 x - \frac{1}{2}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d y}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} = 2 x - \frac{1}{2} + 1$

Schritt 1.1.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d y}{d x} = 2 x - \frac{1}{2} + \frac{2}{2}$

Schritt 1.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d y}{d x} = 2 x + \frac{- 1 + 2}{2}$

Schritt 1.1.4

Addiere $- 1$ und $2$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x + \frac{1}{2}$

Schritt 1.2

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (2 x + \frac{1}{2}) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int 2 x + \frac{1}{2} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int 2 x + \frac{1}{2} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int 2 x d x + \int \frac{1}{2} d x$

Schritt 2.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 2 \int x d x + \int \frac{1}{2} d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int \frac{1}{2} d x$

Schritt 2.3.4

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \frac{1}{2} x + C_{3}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \frac{1}{2} x + C_{3}$

Schritt 2.3.5.2

Vereinfache.

$y + C_{1} = x^{2} + \frac{1}{2} x + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = x^{2} + \frac{1}{2} x + K$