Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{1 - y^{2}}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \sqrt{1 - y^{2}}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{1 - y^{2}}$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \sqrt{1 - y^{2}}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 1$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} d y = 1 d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} d y = \int d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - y^{2}}} d y = \int d x$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{\sqrt{1^{2} - y^{2}}}$ nach $y$ ist $\arcsin (y)$

$\arcsin (y) + C_{1} = \int d x$

Schritt 2.3

Wende die Konstantenregel an.

$\arcsin (y) + C_{1} = x + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\arcsin (y) = x + K$

Schritt 3

Nimm den inversen Arcussinus von beiden Seiten der Gleichung, um $y$ aus dem Arcussinus zu ziehen.

$y = \sin (x + K)$