Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + y = 2 + 2 x$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = 1$ gilt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int d x}$

Schritt 1.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{x + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{x}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} \cdot 2 + e^{x} (2 x)$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = 2 \cdot e^{x} + e^{x} (2 x)$

Schritt 2.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = 2 e^{x} + 2 e^{x} x$

Schritt 2.3

Stelle die Faktoren in $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = 2 e^{x} + 2 e^{x} x$ um.

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = 2 e^{x} + 2 x e^{x}$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = 2 e^{x} + 2 x e^{x}$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int 2 e^{x} + 2 x e^{x} d x$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$e^{x} y = \int 2 e^{x} + 2 x e^{x} d x$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$e^{x} y = \int 2 e^{x} d x + \int 2 x e^{x} d x$

Schritt 6.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$e^{x} y = 2 \int e^{x} d x + \int 2 x e^{x} d x$

Schritt 6.3

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$e^{x} y = 2 (e^{x} + C) + \int 2 x e^{x} d x$

Schritt 6.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$e^{x} y = 2 (e^{x} + C) + 2 \int x e^{x} d x$

Schritt 6.5

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = 2 (e^{x} + C) + 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

Schritt 6.6

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$e^{x} y = 2 (e^{x} + C) + 2 (x e^{x} - (e^{x} + C))$

Schritt 6.7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.7.1

Vereinfache.

$e^{x} y = 2 e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x} + C$

Schritt 6.7.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.7.2.1

Subtrahiere $2 e^{x}$ von $2 e^{x}$ .

$e^{x} y = 2 x e^{x} + 0 + C$

Schritt 6.7.2.2

Addiere $2 x e^{x}$ und $0$ .

$e^{x} y = 2 x e^{x} + C$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $e^{x} y = 2 x e^{x} + C$ durch $e^{x}$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{x} y = 2 x e^{x} + C$ durch $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{2 x e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{2 x e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{2 x e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2 x e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 7.3.1.2

Dividiere $2 x$ durch $1$ .

$y = 2 x + \frac{C}{e^{x}}$