Analysis Beispiele

$(x + y e^{\frac{y}{x}}) d x - x e^{\frac{y}{x}} d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = x + y e^{\frac{y}{x}}$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x + y e^{\frac{y}{x}}]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + y e^{\frac{y}{x}}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y e^{\frac{y}{x}}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y e^{\frac{y}{x}}]$

Schritt 1.2.2

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y e^{\frac{y}{x}}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [y e^{\frac{y}{x}}]$ .

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Schritt 1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = y$ und $g (y) = e^{\frac{y}{x}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y \frac{d}{d y} [e^{\frac{y}{x}}] + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = e^{y}$ und $g (y) = \frac{y}{x}$ .

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Schritt 1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{y}{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{u} \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{y}{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.3

Da $\frac{1}{x}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{y}{x}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{\frac{y}{x}} (\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y])) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{\frac{y}{x}} (\frac{1}{x} \cdot 1)) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{\frac{y}{x}} (\frac{1}{x} \cdot 1)) + e^{\frac{y}{x}} \cdot 1$

Schritt 1.3.6

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{\frac{y}{x}} \frac{1}{x}) + e^{\frac{y}{x}} \cdot 1$

Schritt 1.3.7

Kombiniere $e^{\frac{y}{x}}$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y \frac{e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}} \cdot 1$

Schritt 1.3.8

Kombiniere $y$ und $\frac{e^{\frac{y}{x}}}{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}} \cdot 1$

Schritt 1.3.9

Mutltipliziere $e^{\frac{y}{x}}$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}}$

Schritt 1.4

Addiere $0$ und $\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}}$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = - x e^{\frac{y}{x}}$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x e^{\frac{y}{x}}]$

Schritt 2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x e^{\frac{y}{x}}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x e^{\frac{y}{x}}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x e^{\frac{y}{x}}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{\frac{y}{x}}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x \frac{d}{d x} [e^{\frac{y}{x}}] + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \frac{y}{x}$ .

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Schritt 2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{y}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{y}{x}]) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{y}{x}]) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{y}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{y}{x}]) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.5

Differenziere.

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Schritt 2.5.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{y}{x}$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (e^{\frac{y}{x}} (y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.5.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (e^{\frac{y}{x}} (y \frac{d}{d x} [x^{- 1}])) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (e^{\frac{y}{x}} (y (- x^{- 2}))) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x^{- 2} x^{1} (e^{\frac{y}{x}} (y \cdot (- 1))) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x^{- 2 + 1} (e^{\frac{y}{x}} (y \cdot (- 1))) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.8.1

Addiere $- 2$ und $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x^{- 1} (e^{\frac{y}{x}} (y \cdot (- 1))) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.8.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x^{- 1} (e^{\frac{y}{x}} (- 1 \cdot y)) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.8.3

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x^{- 1} (e^{\frac{y}{x}} (- y)) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x^{- 1} (e^{\frac{y}{x}} (- y)) + e^{\frac{y}{x}} \cdot 1)$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $e^{\frac{y}{x}}$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x^{- 1} (e^{\frac{y}{x}} (- y)) + e^{\frac{y}{x}})$

Schritt 2.11

Vereinfache.

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Schritt 2.11.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{1}{x} (e^{\frac{y}{x}} (- y)) + e^{\frac{y}{x}})$

Schritt 2.11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{1}{x} (e^{\frac{y}{x}} (- y))) - e^{\frac{y}{x}}$

Schritt 2.11.3

Vereine die Terme

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Schritt 2.11.3.1

Kombiniere $e^{\frac{y}{x}}$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{e^{\frac{y}{x}}}{x} (- y)) - e^{\frac{y}{x}}$

Schritt 2.11.3.2

Kombiniere $\frac{e^{\frac{y}{x}}}{x}$ und $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - - \frac{e^{\frac{y}{x}} y}{x} - e^{\frac{y}{x}}$

Schritt 2.11.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 \frac{e^{\frac{y}{x}} y}{x} - e^{\frac{y}{x}}$

Schritt 2.11.3.4

Mutltipliziere $\frac{e^{\frac{y}{x}} y}{x}$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{e^{\frac{y}{x}} y}{x} - e^{\frac{y}{x}}$

Schritt 2.11.4

Stelle die Faktoren in $\frac{e^{\frac{y}{x}} y}{x} - e^{\frac{y}{x}}$ um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} - e^{\frac{y}{x}}$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}}$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} - e^{\frac{y}{x}}$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}} = \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} - e^{\frac{y}{x}}$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}} = \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} - e^{\frac{y}{x}}$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}}$ .

$\frac{\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} - e^{\frac{y}{x}}$ .

$\frac{\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}} - (\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} - e^{\frac{y}{x}})}{N}$

Schritt 4.3

Ersetze $N$ durch $- x e^{\frac{y}{x}}$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $N$ durch $- x e^{\frac{y}{x}}$ .

$\frac{\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}} - (\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} - e^{\frac{y}{x}})}{- x e^{\frac{y}{x}}}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}} - \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} - - e^{\frac{y}{x}}}{- x e^{\frac{y}{x}}}$

Schritt 4.3.2.2

Multipliziere $- - e^{\frac{y}{x}}$ .

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Schritt 4.3.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}} - \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + 1 e^{\frac{y}{x}}}{- x e^{\frac{y}{x}}}$

Schritt 4.3.2.2.2

Mutltipliziere $e^{\frac{y}{x}}$ mit $1$ .

$\frac{\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}} - \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}}}{- x e^{\frac{y}{x}}}$

Schritt 4.3.2.3

Subtrahiere $\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x}$ von $\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x}$ .

$\frac{0 + e^{\frac{y}{x}} + e^{\frac{y}{x}}}{- x e^{\frac{y}{x}}}$

Schritt 4.3.2.4

Addiere $0$ und $e^{\frac{y}{x}}$ .

$\frac{e^{\frac{y}{x}} + e^{\frac{y}{x}}}{- x e^{\frac{y}{x}}}$

Schritt 4.3.2.5

Addiere $e^{\frac{y}{x}}$ und $e^{\frac{y}{x}}$ .

$\frac{2 e^{\frac{y}{x}}}{- x e^{\frac{y}{x}}}$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{\frac{y}{x}}$ .

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Schritt 4.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 e^{\frac{y}{x}}}{- x e^{\frac{y}{x}}}$

Schritt 4.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{- x}$

Schritt 4.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{x}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ .

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Schritt 5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Schritt 5.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 5.4

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 5.5

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

Schritt 5.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.6.1

Vereinfache $- 2 \ln (| x |)$ , indem du $- 2$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

Schritt 5.6.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

Schritt 5.6.3

Entferne den Absolutwert in ${| x |}^{- 2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

Schritt 5.6.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $(x + y e^{\frac{y}{x}}) d x - x e^{\frac{y}{x}} d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{x^{2}}$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $x + y e^{\frac{y}{x}}$ mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(x + y e^{\frac{y}{x}}) \frac{1}{x^{2}} d x - x e^{\frac{y}{x}} d y = 0$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $x + y e^{\frac{y}{x}}$ mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} d x - x e^{\frac{y}{x}} d y = 0$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $- x e^{\frac{y}{x}}$ mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} d x - x e^{\frac{y}{x}} \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Schritt 6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.4.1

Faktorisiere $x$ aus $- x e^{\frac{y}{x}}$ heraus.

$\frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} d x + x (- 1 e^{\frac{y}{x}}) \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Schritt 6.4.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} d x + x (- 1 e^{\frac{y}{x}}) \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Schritt 6.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} d x + x (- 1 e^{\frac{y}{x}}) \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Schritt 6.4.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} d x - 1 e^{\frac{y}{x}} \frac{1}{x} d y = 0$

Schritt 6.5

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $e^{\frac{y}{x}}$ .

$\frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} d x - 1 \frac{e^{\frac{y}{x}}}{x} d y = 0$

Schritt 6.6

Schreibe $- 1 \frac{e^{\frac{y}{x}}}{x}$ als $- \frac{e^{\frac{y}{x}}}{x}$ um.

$\frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} d x - \frac{e^{\frac{y}{x}}}{x} d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{e^{\frac{y}{x}}}{x} d y$

Schritt 8

Integriere $N (x, y) = - \frac{e^{\frac{y}{x}}}{x}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$f (x, y) = - \int \frac{e^{\frac{y}{x}}}{x} d y$

Schritt 8.2

Da $\frac{1}{x}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $\frac{1}{x}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = - (\frac{1}{x} \int e^{\frac{y}{x}} d y)$

Schritt 8.3

Entferne die Klammern.

$f (x, y) = - \frac{1}{x} \int e^{\frac{y}{x}} d y$

Schritt 8.4

Sei $u = \frac{y}{x}$ . Dann ist $d u = \frac{1}{x} d y$ , folglich $x d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 8.4.1

Es sei $u = \frac{y}{x}$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 8.4.1.1

Differenziere $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Schritt 8.4.1.2

Da $\frac{1}{x}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{y}{x}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 8.4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{x} \cdot 1$

Schritt 8.4.1.4

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $1$ .

$\frac{1}{x}$

Schritt 8.4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$f (x, y) = - \frac{1}{x} \int e^{u} \frac{1}{\frac{1}{x}} d u$

Schritt 8.5

Vereinfache.

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Schritt 8.5.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{x}$ zu dividieren.

$f (x, y) = - \frac{1}{x} \int e^{u} (1 x) d u$

Schritt 8.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{x} \int e^{u} x d u$

Schritt 8.6

Da $x$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $x$ aus dem Integral.

$f (x, y) = - \frac{1}{x} (x \int e^{u} d u)$

Schritt 8.7

Vereinfache.

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Schritt 8.7.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$f (x, y) = - \frac{x}{x} \int e^{u} d u$

Schritt 8.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = - \frac{x}{x} \int e^{u} d u$

Schritt 8.7.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = - 1 \cdot 1 \int e^{u} d u$

Schritt 8.7.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (x, y) = - \int e^{u} d u$

Schritt 8.8

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$f (x, y) = - (e^{u} + C)$

Schritt 8.9

Vereinfache.

$f (x, y) = - e^{u} + C$

Schritt 8.10

Ersetze alle $u$ durch $\frac{y}{x}$ .

$f (x, y) = - e^{\frac{y}{x}} + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = - e^{\frac{y}{x}} + g (x)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [- e^{\frac{y}{x}} + g (x)] = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- e^{\frac{y}{x}} + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- e^{\frac{y}{x}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- e^{\frac{y}{x}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- e^{\frac{y}{x}}]$ .

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Schritt 11.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- e^{\frac{y}{x}}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [e^{\frac{y}{x}}]$ .

$- \frac{d}{d x} [e^{\frac{y}{x}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Schritt 11.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \frac{y}{x}$ .

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Schritt 11.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{y}{x}$ .

$- (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{y}{x}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Schritt 11.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{y}{x}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Schritt 11.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{y}{x}$ .

$- (e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{y}{x}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Schritt 11.3.3

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{y}{x}$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- (e^{\frac{y}{x}} (y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Schritt 11.3.4

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$- (e^{\frac{y}{x}} (y \frac{d}{d x} [x^{- 1}])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Schritt 11.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- (e^{\frac{y}{x}} (y (- x^{- 2}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Schritt 11.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (e^{\frac{y}{x}} (y (x^{- 2}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Schritt 11.3.7

Mutltipliziere $e^{\frac{y}{x}}$ mit $1$ .

$e^{\frac{y}{x}} (y x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Schritt 11.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$e^{\frac{y}{x}} (y x^{- 2}) + \frac{d g}{d x} = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Schritt 11.5

Vereinfache.

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Schritt 11.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{\frac{y}{x}} (y \frac{1}{x^{2}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Schritt 11.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 11.5.2.1

Kombiniere $y$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$e^{\frac{y}{x}} \frac{y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Schritt 11.5.2.2

Kombiniere $e^{\frac{y}{x}}$ und $\frac{y}{x^{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{y}{x}} y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Schritt 11.5.3

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + \frac{e^{\frac{y}{x}} y}{x^{2}} = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Schritt 11.5.4

Stelle die Faktoren in $\frac{d g}{d x} + \frac{e^{\frac{y}{x}} y}{x^{2}}$ um.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 12.1

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 12.1.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 12.1.1.1

Subtrahiere $\frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} - \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y e^{\frac{y}{x}} - (x + y e^{\frac{y}{x}})}{x^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y e^{\frac{y}{x}} - x - y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $y e^{\frac{y}{x}} - x - y e^{\frac{y}{x}}$ .

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Schritt 12.1.1.4.1

Subtrahiere $y e^{\frac{y}{x}}$ von $y e^{\frac{y}{x}}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x + 0}{x^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.4.2

Addiere $- x$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x}{x^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 12.1.1.5.1.1

Faktorisiere $x$ aus $- x$ heraus.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 1}{x^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.5.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.1.1.5.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} = 0$

Schritt 12.1.1.5.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} = 0$

Schritt 12.1.1.5.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x} = 0$

Schritt 12.1.1.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{x} = 0$

Schritt 12.1.2

Addiere $\frac{1}{x}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x}$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $\frac{1}{x}$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 13.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$g (x) = \ln (| x |) + C$

Schritt 14

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = - e^{\frac{y}{x}} + g (x)$ ein.

$f (x, y) = - e^{\frac{y}{x}} + \ln (| x |) + C$