Analysis Beispiele

$y^{2} d t + (2 y t + 1) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = y^{2}$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = 2 y t + 1$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y t + 1]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 y t + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 y t] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y t] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3

Da $2 y t$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 y t$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0$

Schritt 2.5

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $2 y$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $0$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$2 y = 0$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$2 y = 0$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $0$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $2 y$ .

$\frac{0 - (2 y)}{M}$

Schritt 4.3

Ersetze $M$ durch $y^{2}$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $M$ durch $y^{2}$ .

$\frac{0 - (2 y)}{y^{2}}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{0 - 2 y}{y^{2}}$

Schritt 4.3.2.2

Subtrahiere $2 y$ von $0$ .

$\frac{- 2 y}{y^{2}}$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y$ und $y^{2}$ .

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Schritt 4.3.3.1

Faktorisiere $y$ aus $- 2 y$ heraus.

$\frac{y \cdot - 2}{y^{2}}$

Schritt 4.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.3.2.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2}$ heraus.

$\frac{y \cdot - 2}{y \cdot y}$

Schritt 4.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \cdot - 2}{y \cdot y}$

Schritt 4.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2}{y}$

Schritt 4.3.4

Ersetze $M$ durch $y^{2}$ .

$- \frac{2}{y}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

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Schritt 5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Schritt 5.2

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Schritt 5.4

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Schritt 5.5

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Schritt 5.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.6.1

Vereinfache $- 2 \ln (| y |)$ , indem du $- 2$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Schritt 5.6.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Schritt 5.6.3

Entferne den Absolutwert in ${| y |}^{- 2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Schritt 5.6.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $y^{2} d t + (2 y t + 1) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{y^{2}}$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$y^{2} \frac{1}{y^{2}} d t + (2 y t + 1) d y = 0$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} \frac{1}{y^{2}} d t + (2 y t + 1) d y = 0$

Schritt 6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 d t + (2 y t + 1) d y = 0$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $2 y t + 1$ mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$1 d t + (2 y t + 1) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $2 y t + 1$ mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$1 d t + \frac{2 y t + 1}{y^{2}} d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int d x$

Schritt 8

Integriere $M (x, y) = 1$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = x + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = x + g (y)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2 y t + 1}{y^{2}}$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [x + g (y)] = \frac{2 y t + 1}{y^{2}}$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y t + 1}{y^{2}}$

Schritt 11.3

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y t + 1}{y^{2}}$

Schritt 11.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$0 + \frac{d g}{d y} = \frac{2 y t + 1}{y^{2}}$

Schritt 11.5

Addiere $0$ und $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{2 y t + 1}{y^{2}}$

Schritt 12

Bestimme die Stammfunktion von $\frac{2 y t + 1}{y^{2}}$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 12.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = \frac{2 y t + 1}{y^{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{2 y t + 1}{y^{2}} d y$

Schritt 12.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{2 y t + 1}{y^{2}} d y$

Schritt 12.3

Bringe $y^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$g (y) = \int (2 y t + 1) {(y^{2})}^{- 1} d y$

Schritt 12.4

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 12.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (y) = \int (2 y t + 1) y^{2 \cdot - 1} d y$

Schritt 12.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$g (y) = \int (2 y t + 1) y^{- 2} d y$

Schritt 12.5

Multipliziere $(2 y t + 1) y^{- 2}$ aus.

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Schritt 12.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$g (y) = \int 2 y t y^{- 2} + 1 y^{- 2} d y$

Schritt 12.5.2

Mutltipliziere $y^{- 2}$ mit $1$ .

$g (y) = \int 2 y t y^{- 2} + y^{- 2} d y$

Schritt 12.6

Multipliziere $y$ mit $y^{- 2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.6.1

Bewege $y^{- 2}$ .

$g (y) = \int 2 (y^{- 2} y) t + y^{- 2} d y$

Schritt 12.6.2

Mutltipliziere $y^{- 2}$ mit $y$ .

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Schritt 12.6.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$g (y) = \int 2 (y^{- 2} y^{1}) t + y^{- 2} d y$

Schritt 12.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$g (y) = \int 2 y^{- 2 + 1} t + y^{- 2} d y$

Schritt 12.6.3

Addiere $- 2$ und $1$ .

$g (y) = \int 2 y^{- 1} t + y^{- 2} d y$

Schritt 12.7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$g (y) = \int 2 y^{- 1} t d y + \int y^{- 2} d y$

Schritt 12.8

Da $2 t$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2 t$ aus dem Integral.

$g (y) = 2 t \int y^{- 1} d y + \int y^{- 2} d y$

Schritt 12.9

Das Integral von $y^{- 1}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$g (y) = 2 t (\ln (| y |) + C) + \int y^{- 2} d y$

Schritt 12.10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- 2}$ nach $y$ gleich $- y^{- 1}$ .

$g (y) = 2 t (\ln (| y |) + C) - y^{- 1} + C$

Schritt 12.11

Vereinfache.

$g (y) = 2 t \ln (| y |) - \frac{1}{y} + C$

Schritt 13

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = x + g (y)$ ein.

$f (x, y) = x + 2 t \ln (| y |) - \frac{1}{y} + C$

Schritt 14

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.1

Vereinfache $2 \ln (| y |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$f (x, y) = x + t \ln ({| y |}^{2}) - \frac{1}{y} + C$

Schritt 14.2

Entferne den Absolutwert in ${| y |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$f (x, y) = x + t \ln (y^{2}) - \frac{1}{y} + C$