Analysis Beispiele

$d x + \frac{1}{y^{4}} d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{y^{4}} d y = - d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y^{4}} d y = \int - 1 d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1.1

Bringe $y^{4}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(y^{4})}^{- 1} d y = \int - 1 d x$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{4})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{4 \cdot - 1} d y = \int - 1 d x$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\int y^{- 4} d y = \int - 1 d x$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- 4}$ nach $y$ gleich $- \frac{1}{3} y^{- 3}$ .

$- \frac{1}{3} y^{- 3} + C_{1} = \int - 1 d x$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.2.3.1

Schreibe $- \frac{1}{3} y^{- 3} + C_{1}$ als $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{y^{3}} + C_{1}$ um.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = \int - 1 d x$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{y^{3}}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{y^{3} \cdot 3} + C_{1} = \int - 1 d x$

Schritt 2.2.3.2.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $y^{3}$ .

$- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1} = \int - 1 d x$

Schritt 2.3

Wende die Konstantenregel an.

$- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1} = - x + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$- \frac{1}{3 y^{3}} = - x + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$3 y^{3}, 1, 1$

Schritt 3.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$3 y^{3}$

Schritt 3.2

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{3 y^{3}} = - x + K$ mit $3 y^{3}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{3 y^{3}} = - x + K$ mit $3 y^{3}$ .

$- \frac{1}{3 y^{3}} (3 y^{3}) = - x (3 y^{3}) + K (3 y^{3})$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 y^{3}$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{3 y^{3}}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{3 y^{3}} (3 y^{3}) = - x (3 y^{3}) + K (3 y^{3})$

Schritt 3.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{3 y^{3}} (3 y^{3}) = - x (3 y^{3}) + K (3 y^{3})$

Schritt 3.2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 = - x (3 y^{3}) + K (3 y^{3})$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 1 = - 1 \cdot 3 x y^{3} + K (3 y^{3})$

Schritt 3.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 1 = - 3 x y^{3} + K (3 y^{3})$

Schritt 3.2.3.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 1 = - 3 x y^{3} + 3 K y^{3}$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $- 3 x y^{3} + 3 K y^{3} = - 1$ um.

$- 3 x y^{3} + 3 K y^{3} = - 1$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $3 y^{3}$ aus $- 3 x y^{3} + 3 K y^{3}$ heraus.

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Schritt 3.3.2.1

Faktorisiere $3 y^{3}$ aus $- 3 x y^{3}$ heraus.

$3 y^{3} (- x) + 3 K y^{3} = - 1$

Schritt 3.3.2.2

Faktorisiere $3 y^{3}$ aus $3 K y^{3}$ heraus.

$3 y^{3} (- x) + 3 y^{3} K = - 1$

Schritt 3.3.2.3

Faktorisiere $3 y^{3}$ aus $3 y^{3} (- x) + 3 y^{3} K$ heraus.

$3 y^{3} (- x + K) = - 1$

Schritt 3.3.3

Teile jeden Ausdruck in $3 y^{3} (- x + K) = - 1$ durch $3 (- x + K)$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y^{3} (- x + K) = - 1$ durch $3 (- x + K)$ .

$\frac{3 y^{3} (- x + K)}{3 (- x + K)} = \frac{- 1}{3 (- x + K)}$

Schritt 3.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y^{3} (- x + K)}{3 (- x + K)} = \frac{- 1}{3 (- x + K)}$

Schritt 3.3.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{3} (- x + K)}{- x + K} = \frac{- 1}{3 (- x + K)}$

Schritt 3.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- x + K$ .

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Schritt 3.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{3} (- x + K)}{- x + K} = \frac{- 1}{3 (- x + K)}$

Schritt 3.3.3.2.2.2

Dividiere $y^{3}$ durch $1$ .

$y^{3} = \frac{- 1}{3 (- x + K)}$

Schritt 3.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{3} = - \frac{1}{3 (- x + K)}$

Schritt 3.3.3.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$y^{3} = - \frac{1}{3 (- (x) + K)}$

Schritt 3.3.3.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $K$ heraus.

$y^{3} = - \frac{1}{3 (- (x) - 1 (- K))}$

Schritt 3.3.3.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- K)$ heraus.

$y^{3} = - \frac{1}{3 (- (x - K))}$

Schritt 3.3.3.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.3.3.5.1

Schreibe $- (x - K)$ als $- 1 (x - K)$ um.

$y^{3} = - \frac{1}{3 (- 1 (x - K))}$

Schritt 3.3.3.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{3} = - - \frac{1}{3 (x - K)}$

Schritt 3.3.3.3.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y^{3} = 1 \frac{1}{3 (x - K)}$

Schritt 3.3.3.3.5.4

Mutltipliziere $\frac{1}{3 (x - K)}$ mit $1$ .

$y^{3} = \frac{1}{3 (x - K)}$

Schritt 3.3.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[3]{\frac{1}{3 (x - K)}}$

Schritt 3.3.5

Vereinfache $\sqrt[3]{\frac{1}{3 (x - K)}}$ .

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Schritt 3.3.5.1

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{1}{3 (x - K)}}$ als $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{3 (x - K)}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{3 (x - K)}}$

Schritt 3.3.5.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$y = \frac{1}{\sqrt[3]{3 (x - K)}}$

Schritt 3.3.5.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt[3]{3 (x - K)}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{3 (x - K)}}^{2}}{{\sqrt[3]{3 (x - K)}}^{2}}$ .

$y = \frac{1}{\sqrt[3]{3 (x - K)}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{3 (x - K)}}^{2}}{{\sqrt[3]{3 (x - K)}}^{2}}$

Schritt 3.3.5.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.3.5.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt[3]{3 (x - K)}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{3 (x - K)}}^{2}}{{\sqrt[3]{3 (x - K)}}^{2}}$ .

$y = \frac{{\sqrt[3]{3 (x - K)}}^{2}}{\sqrt[3]{3 (x - K)} {\sqrt[3]{3 (x - K)}}^{2}}$

Schritt 3.3.5.4.2

Potenziere $\sqrt[3]{3 (x - K)}$ mit $1$ .

$y = \frac{{\sqrt[3]{3 (x - K)}}^{2}}{{\sqrt[3]{3 (x - K)}}^{1} {\sqrt[3]{3 (x - K)}}^{2}}$

Schritt 3.3.5.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{{\sqrt[3]{3 (x - K)}}^{2}}{{\sqrt[3]{3 (x - K)}}^{1 + 2}}$

Schritt 3.3.5.4.4

Addiere $1$ und $2$ .

$y = \frac{{\sqrt[3]{3 (x - K)}}^{2}}{{\sqrt[3]{3 (x - K)}}^{3}}$

Schritt 3.3.5.4.5

Schreibe ${\sqrt[3]{3 (x - K)}}^{3}$ als $3 (x - K)$ um.

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Schritt 3.3.5.4.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{3 (x - K)}$ als ${(3 (x - K))}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{{\sqrt[3]{3 (x - K)}}^{2}}{{({(3 (x - K))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 3.3.5.4.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{{\sqrt[3]{3 (x - K)}}^{2}}{{(3 (x - K))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 3.3.5.4.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$y = \frac{{\sqrt[3]{3 (x - K)}}^{2}}{{(3 (x - K))}^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.3.5.4.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.5.4.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{{\sqrt[3]{3 (x - K)}}^{2}}{{(3 (x - K))}^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.3.5.4.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{{\sqrt[3]{3 (x - K)}}^{2}}{{(3 (x - K))}^{1}}$

Schritt 3.3.5.4.5.5

Vereinfache.

$y = \frac{{\sqrt[3]{3 (x - K)}}^{2}}{3 (x - K)}$

Schritt 3.3.5.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.5.5.1

Schreibe ${\sqrt[3]{3 (x - K)}}^{2}$ als $\sqrt[3]{{(3 (x - K))}^{2}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{{(3 (x - K))}^{2}}}{3 (x - K)}$

Schritt 3.3.5.5.2

Wende die Produktregel auf $3 (x - K)$ an.

$y = \frac{\sqrt[3]{3^{2} {(x - K)}^{2}}}{3 (x - K)}$

Schritt 3.3.5.5.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{9 {(x - K)}^{2}}}{3 (x - K)}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\sqrt[3]{9 {(x + K)}^{2}}}{3 (x + K)}$