Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} - y = \frac{1}{y^{2}}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Addiere $y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} + y$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y} (\frac{1}{y^{2}} + y)$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\frac{1}{y^{2}} + y$ .

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y} (\frac{1}{y^{2}} + y)$

Schritt 1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y} \frac{d y}{d x} = 1$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y} d y = 1 d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y} d y = \int d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.1.1.1

Um $y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + \frac{y \cdot y^{2}}{y^{2}}} d y = \int d x$

Schritt 2.2.1.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int \frac{1}{\frac{1 + y \cdot y^{2}}{y^{2}}} d y = \int d x$

Schritt 2.2.1.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\int \frac{1}{\frac{1^{3} + y \cdot y^{2}}{y^{2}}} d y = \int d x$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Multipliziere $y$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1.1.3.2.1

Mutltipliziere $y$ mit $y^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.3.2.1.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\int \frac{1}{\frac{1^{3} + y^{1} y^{2}}{y^{2}}} d y = \int d x$

Schritt 2.2.1.1.3.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \frac{1}{\frac{1^{3} + y^{1 + 2}}{y^{2}}} d y = \int d x$

Schritt 2.2.1.1.3.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\int \frac{1}{\frac{1^{3} + y^{3}}{y^{2}}} d y = \int d x$

Schritt 2.2.1.1.3.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = 1$ und $b = y$ .

$\int \frac{1}{\frac{(1 + y) (1^{2} - 1 y + y^{2})}{y^{2}}} d y = \int d x$

Schritt 2.2.1.1.3.4

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.1.3.4.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\int \frac{1}{\frac{(1 + y) (1 - 1 y + y^{2})}{y^{2}}} d y = \int d x$

Schritt 2.2.1.1.3.4.2

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$\int \frac{1}{\frac{(1 + y) (1 - y + y^{2})}{y^{2}}} d y = \int d x$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\int 1 \frac{y^{2}}{(1 + y) (1 - y + y^{2})} d y = \int d x$

Schritt 2.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{y^{2}}{(1 + y) (1 - y + y^{2})}$ mit $1$ .

$\int \frac{y^{2}}{(1 + y) (1 - y + y^{2})} d y = \int d x$

Schritt 2.2.2

Sei $u = (1 + y) (1 - y + y^{2})$ . Dann ist $d u = 3 y^{2} d y$ , folglich $\frac{1}{3} d u = y^{2} d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.2.1

Es sei $u = (1 + y) (1 - y + y^{2})$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Differenziere $(1 + y) (1 - y + y^{2})$ .

$\frac{d}{d y} [(1 + y) (1 - y + y^{2})]$

Schritt 2.2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = 1 + y$ und $g (y) = 1 - y + y^{2}$ .

$(1 + y) \frac{d}{d y} [1 - y + y^{2}] + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Schritt 2.2.2.1.3

Differenziere.

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Schritt 2.2.2.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - y + y^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$(1 + y) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Schritt 2.2.2.1.3.2

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$(1 + y) (0 + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Schritt 2.2.2.1.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$(1 + y) (\frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Schritt 2.2.2.1.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$(1 + y) (- \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Schritt 2.2.2.1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(1 + y) (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Schritt 2.2.2.1.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(1 + y) (- 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Schritt 2.2.2.1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(1 + y) (- 1 + 2 y) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Schritt 2.2.2.1.3.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$(1 + y) (- 1 + 2 y) + (1 - y + y^{2}) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 2.2.2.1.3.9

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$(1 + y) (- 1 + 2 y) + (1 - y + y^{2}) (0 + \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 2.2.2.1.3.10

Addiere $0$ und $\frac{d}{d y} [y]$ .

$(1 + y) (- 1 + 2 y) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.2.2.1.3.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(1 + y) (- 1 + 2 y) + (1 - y + y^{2}) \cdot 1$

Schritt 2.2.2.1.3.12

Mutltipliziere $1 - y + y^{2}$ mit $1$ .

$(1 + y) (- 1 + 2 y) + 1 - y + y^{2}$

Schritt 2.2.2.1.4

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(1 + y) \cdot - 1 + (1 + y) (2 y) + 1 - y + y^{2}$

Schritt 2.2.2.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \cdot - 1 + y \cdot - 1 + (1 + y) (2 y) + 1 - y + y^{2}$

Schritt 2.2.2.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \cdot - 1 + y \cdot - 1 + 1 (2 y) + y (2 y) + 1 - y + y^{2}$

Schritt 2.2.2.1.4.4

Vereine die Terme

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Schritt 2.2.2.1.4.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 + y \cdot - 1 + 1 (2 y) + y (2 y) + 1 - y + y^{2}$

Schritt 2.2.2.1.4.4.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $y$ .

$- 1 - 1 \cdot y + 1 (2 y) + y (2 y) + 1 - y + y^{2}$

Schritt 2.2.2.1.4.4.3

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$- 1 - y + 1 (2 y) + y (2 y) + 1 - y + y^{2}$

Schritt 2.2.2.1.4.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 1 - y + 2 y + y (2 y) + 1 - y + y^{2}$

Schritt 2.2.2.1.4.4.5

Potenziere $y$ mit $1$ .

$- 1 - y + 2 y + 2 (y^{1} y) + 1 - y + y^{2}$

Schritt 2.2.2.1.4.4.6

Potenziere $y$ mit $1$ .

$- 1 - y + 2 y + 2 (y^{1} y^{1}) + 1 - y + y^{2}$

Schritt 2.2.2.1.4.4.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 1 - y + 2 y + 2 y^{1 + 1} + 1 - y + y^{2}$

Schritt 2.2.2.1.4.4.8

Addiere $1$ und $1$ .

$- 1 - y + 2 y + 2 y^{2} + 1 - y + y^{2}$

Schritt 2.2.2.1.4.4.9

Addiere $- y$ und $2 y$ .

$- 1 + y + 2 y^{2} + 1 - y + y^{2}$

Schritt 2.2.2.1.4.4.10

Addiere $- 1$ und $1$ .

$y + 2 y^{2} + 0 - y + y^{2}$

Schritt 2.2.2.1.4.4.11

Addiere $y + 2 y^{2}$ und $0$ .

$y + 2 y^{2} - y + y^{2}$

Schritt 2.2.2.1.4.4.12

Subtrahiere $y$ von $y$ .

$2 y^{2} + 0 + y^{2}$

Schritt 2.2.2.1.4.4.13

Addiere $2 y^{2}$ und $0$ .

$2 y^{2} + y^{2}$

Schritt 2.2.2.1.4.4.14

Addiere $2 y^{2}$ und $y^{2}$ .

$3 y^{2}$

Schritt 2.2.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u = \int d x$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 3} d u = \int d x$

Schritt 2.2.3.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $u$ .

$\int \frac{1}{3 u} d u = \int d x$

Schritt 2.2.4

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

Schritt 2.2.5

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d x$

Schritt 2.2.6

Vereinfache.

$\frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

Schritt 2.2.7

Ersetze alle $u$ durch $(1 + y) (1 - y + y^{2})$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (1 + y) (1 - y + y^{2}) |) + C_{1} = \int d x$

Schritt 2.3

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{3} \ln (| (1 + y) (1 - y + y^{2}) |) + C_{1} = x + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{3} \ln (| (1 + y) (1 - y + y^{2}) |) = x + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| (1 + y) (1 - y + y^{2}) |)) = 3 (x + C)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $3 (\frac{1}{3} \ln (| (1 + y) (1 - y + y^{2}) |))$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Multipliziere $(1 + y) (1 - y + y^{2})$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- y) + 1 y^{2} + y \cdot 1 + y (- y) + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

Schritt 3.2.1.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1.2.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + 1 (- y) + 1 y^{2} + y \cdot 1 + y (- y) + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.1.2

Mutltipliziere $- y$ mit $1$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + 1 y^{2} + y \cdot 1 + y (- y) + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.1.3

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y \cdot 1 + y (- y) + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.1.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y + y (- y) + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y - y \cdot y + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.1.6

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1.1.2.1.6.1

Bewege $y$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y - (y \cdot y) + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.1.6.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y - y^{2} + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.1.7

Multipliziere $y$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1.1.2.1.7.1

Mutltipliziere $y$ mit $y^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1.7.1.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y - y^{2} + y^{1} y^{2} |)) = 3 (x + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.1.7.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y - y^{2} + y^{1 + 2} |)) = 3 (x + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.1.7.2

Addiere $1$ und $2$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y - y^{2} + y^{3} |)) = 3 (x + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.1.1.2.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 - y + y^{2} + y - y^{2} + y^{3}$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.2.1.1

Addiere $- y$ und $y$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + y^{2} + 0 - y^{2} + y^{3} |)) = 3 (x + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.2.1.2

Addiere $1 + y^{2}$ und $0$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + y^{2} - y^{2} + y^{3} |)) = 3 (x + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.2.1.3

Subtrahiere $y^{2}$ von $y^{2}$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + 0 + y^{3} |)) = 3 (x + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.2.1.4

Addiere $1$ und $0$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + y^{3} |)) = 3 (x + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.2.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\ln (| 1 + y^{3} |)$ .

$3 \frac{\ln (| 1 + y^{3} |)}{3} = 3 (x + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{\ln (| 1 + y^{3} |)}{3} = 3 (x + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| 1 + y^{3} |) = 3 (x + C)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| 1 + y^{3} |) = 3 x + 3 C$

Schritt 3.3

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| 1 + y^{3} |)} = e^{3 x + 3 C}$

Schritt 3.4

Schreibe $\ln (| 1 + y^{3} |) = 3 x + 3 C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{3 x + 3 C} = | 1 + y^{3} |$

Schritt 3.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $| 1 + y^{3} | = e^{3 x + 3 C}$ um.

$| 1 + y^{3} | = e^{3 x + 3 C}$

Schritt 3.5.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$1 + y^{3} = \pm e^{3 x + 3 C}$

Schritt 3.5.3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{3} = \pm e^{3 x + 3 C} - 1$

Schritt 3.5.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{3 x + 3 C} - 1}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{3 x + C} - 1}$

Schritt 4.2

Schreibe $e^{3 x + C}$ als $e^{3 x} e^{C}$ um.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{3 x} e^{C} - 1}$

Schritt 4.3

Stelle $e^{3 x}$ und $e^{C}$ um.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{C} e^{3 x} - 1}$

Schritt 4.4

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = \sqrt[3]{C e^{3 x} - 1}$