Analysis Beispiele

$(4 + e^{2 x}) d y = y e^{2 x} d x$

Schritt 1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{(4 + e^{2 x}) y}$ .

$\frac{1}{(4 + e^{2 x}) y} (4 + e^{2 x}) d y = \frac{1}{(4 + e^{2 x}) y} (y e^{2 x}) d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4 + e^{2 x}$ .

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $4 + e^{2 x}$ aus $(4 + e^{2 x}) y$ heraus.

$\frac{1}{(4 + e^{2 x}) (y)} (4 + e^{2 x}) d y = \frac{1}{(4 + e^{2 x}) y} (y e^{2 x}) d x$

Schritt 2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{(4 + e^{2 x}) y} (4 + e^{2 x}) d y = \frac{1}{(4 + e^{2 x}) y} (y e^{2 x}) d x$

Schritt 2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(4 + e^{2 x}) y} (y e^{2 x}) d x$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $y$ aus $(4 + e^{2 x}) y$ heraus.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (4 + e^{2 x})} (y e^{2 x}) d x$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $y$ aus $y e^{2 x}$ heraus.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (4 + e^{2 x})} (y (e^{2 x})) d x$

Schritt 2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (4 + e^{2 x})} (y e^{2 x}) d x$

Schritt 2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{4 + e^{2 x}} e^{2 x} d x$

Schritt 2.3

Kombiniere $\frac{1}{4 + e^{2 x}}$ und $e^{2 x}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{e^{2 x}}{4 + e^{2 x}} d x$

Schritt 3

Integriere beide Seiten.

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Schritt 3.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{e^{2 x}}{4 + e^{2 x}} d x$

Schritt 3.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{e^{2 x}}{4 + e^{2 x}} d x$

Schritt 3.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Sei $u_{2} = 4 + e^{2 x}$ . Dann ist $d u_{2} = 2 e^{2 x} d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = e^{2 x} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Es sei $u_{2} = 4 + e^{2 x}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Differenziere $4 + e^{2 x}$ .

$\frac{d}{d x} [4 + e^{2 x}]$

Schritt 3.3.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 3.3.1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 + e^{2 x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Schritt 3.3.1.1.2.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Schritt 3.3.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

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Schritt 3.3.1.1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 3.3.1.1.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 x$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 3.3.1.1.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$0 + e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 3.3.1.1.3.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$0 + e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 3.3.1.1.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Schritt 3.3.1.1.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$0 + e^{2 x} \cdot 2$

Schritt 3.3.1.1.3.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{2 x}$ .

$0 + 2 e^{2 x}$

Schritt 3.3.1.1.4

Addiere $0$ und $2 e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x}$

Schritt 3.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Schritt 3.3.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Schritt 3.3.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 3.3.4

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Schritt 3.3.5

Vereinfache.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Schritt 3.3.6

Ersetze alle $u_{2}$ durch $4 + e^{2 x}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 4 + e^{2 x} |) + C_{2}$

Schritt 3.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = \frac{1}{2} \ln (| 4 + e^{2 x} |) + C$