Analysis Beispiele

$3 y^{2} \frac{d y}{d x} + x^{- 1} y^{3} = x^{4}$

Schritt 1

Es sei $v = y^{3}$ . Ersetze $v$ für alle $y^{3}$ .

$3 y^{2} \frac{d y}{d x} + x^{- 1} v = x^{4}$

Schritt 2

Finde $\frac{d v}{d x}$ durch Differenzierung von $y^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{d v}{d x} = 3 y^{2} y'$

Schritt 3

Setze die Ableitung wieder in die Differentialgleichung ein.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 y^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 y^{2} \frac{\frac{d v}{d x}}{3 y^{2}} + x^{- 1} v = x^{4}$

Schritt 3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d v}{d x} + x^{- 1} v = x^{4}$

Schritt 3.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v = x^{4}$

Schritt 3.3

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = x^{4}$

Schritt 4

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Faktorisiere $v$ aus $\frac{v}{x}$ heraus.

$\frac{d v}{d x} + v \frac{1}{x} = x^{4}$

Schritt 4.2

Stelle $v$ und $\frac{1}{x}$ um.

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v = x^{4}$

Schritt 5

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{1}{x}$ gilt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 5.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Schritt 5.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{\ln (x)}$

Schritt 5.4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x$

Schritt 6

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x$ .

$x \frac{d v}{d x} + x (\frac{1}{x} v) = x \cdot x^{4}$

Schritt 6.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $v$ .

$x \frac{d v}{d x} + x \frac{v}{x} = x \cdot x^{4}$

Schritt 6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x \frac{d v}{d x} + x \frac{v}{x} = x \cdot x^{4}$

Schritt 6.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x \frac{d v}{d x} + v = x \cdot x^{4}$

Schritt 6.3

Multipliziere $x$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x \frac{d v}{d x} + v = x^{1} x^{4}$

Schritt 6.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x \frac{d v}{d x} + v = x^{1 + 4}$

Schritt 6.3.2

Addiere $1$ und $4$ .

$x \frac{d v}{d x} + v = x^{5}$

Schritt 7

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [x v] = x^{5}$

Schritt 8

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [x v] d x = \int x^{5} d x$

Schritt 9

Integriere die linke Seite.

$x v = \int x^{5} d x$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{5}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$x v = \frac{1}{6} x^{6} + C$

Schritt 11

Teile jeden Ausdruck in $x v = \frac{1}{6} x^{6} + C$ durch $x$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Teile jeden Ausdruck in $x v = \frac{1}{6} x^{6} + C$ durch $x$ .

$\frac{x v}{x} = \frac{\frac{1}{6} x^{6}}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 11.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x v}{x} = \frac{\frac{1}{6} x^{6}}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 11.2.1.2

Dividiere $v$ durch $1$ .

$v = \frac{\frac{1}{6} x^{6}}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 11.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{6}$ und $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.3.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $\frac{1}{6} x^{6}$ heraus.

$v = \frac{x (\frac{1}{6} x^{5})}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 11.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.3.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$v = \frac{x (\frac{1}{6} x^{5})}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

Schritt 11.3.1.1.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$v = \frac{x (\frac{1}{6} x^{5})}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Schritt 11.3.1.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$v = \frac{x (\frac{1}{6} x^{5})}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Schritt 11.3.1.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$v = \frac{\frac{1}{6} x^{5}}{1} + \frac{C}{x}$

Schritt 11.3.1.1.2.5

Dividiere $\frac{1}{6} x^{5}$ durch $1$ .

$v = \frac{1}{6} x^{5} + \frac{C}{x}$

Schritt 11.3.1.2

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $x^{5}$ .

$v = \frac{x^{5}}{6} + \frac{C}{x}$

Schritt 12

Ersetze alle $v$ durch $y^{3}$ .

$y^{3} = \frac{x^{5}}{6} + \frac{C}{x}$

Schritt 13

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5}}{6} + \frac{C}{x}}$

Schritt 13.2

Vereinfache $\sqrt[3]{\frac{x^{5}}{6} + \frac{C}{x}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.1

Um $\frac{x^{5}}{6}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5}}{6} \cdot \frac{x}{x} + \frac{C}{x}}$

Schritt 13.2.2

Um $\frac{C}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5}}{6} \cdot \frac{x}{x} + \frac{C}{x} \cdot \frac{6}{6}}$

Schritt 13.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6 x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{x^{5}}{6}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5} x}{6 x} + \frac{C}{x} \cdot \frac{6}{6}}$

Schritt 13.2.3.2

Mutltipliziere $\frac{C}{x}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5} x}{6 x} + \frac{C \cdot 6}{x \cdot 6}}$

Schritt 13.2.3.3

Stelle die Faktoren von $x \cdot 6$ um.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5} x}{6 x} + \frac{C \cdot 6}{6 x}}$

Schritt 13.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5} x + C \cdot 6}{6 x}}$

Schritt 13.2.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.5.1

Multipliziere $x^{5}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.5.1.1

Mutltipliziere $x^{5}$ mit $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.5.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5} x^{1} + C \cdot 6}{6 x}}$

Schritt 13.2.5.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5 + 1} + C \cdot 6}{6 x}}$

Schritt 13.2.5.1.2

Addiere $5$ und $1$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{6} + C \cdot 6}{6 x}}$

Schritt 13.2.5.2

Bringe $6$ auf die linke Seite von $C$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{6} + 6 C}{6 x}}$

Schritt 13.2.6

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{x^{6} + 6 C}{6 x}}$ als $\frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C}}{\sqrt[3]{6 x}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C}}{\sqrt[3]{6 x}}$

Schritt 13.2.7

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C}}{\sqrt[3]{6 x}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C}}{\sqrt[3]{6 x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}$

Schritt 13.2.8

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.8.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C}}{\sqrt[3]{6 x}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{\sqrt[3]{6 x} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}$

Schritt 13.2.8.2

Potenziere $\sqrt[3]{6 x}$ mit $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{1} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}$

Schritt 13.2.8.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{1 + 2}}$

Schritt 13.2.8.4

Addiere $1$ und $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{3}}$

Schritt 13.2.8.5

Schreibe ${\sqrt[3]{6 x}}^{3}$ als $6 x$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.8.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{6 x}$ als ${(6 x)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{({(6 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 13.2.8.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{(6 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 13.2.8.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{(6 x)}^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 13.2.8.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.8.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{(6 x)}^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 13.2.8.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{(6 x)}^{1}}$

Schritt 13.2.8.5.5

Vereinfache.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{6 x}$

Schritt 13.2.9

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.9.1

Schreibe ${\sqrt[3]{6 x}}^{2}$ als $\sqrt[3]{{(6 x)}^{2}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} \sqrt[3]{{(6 x)}^{2}}}{6 x}$

Schritt 13.2.9.2

Wende die Produktregel auf $6 x$ an.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} \sqrt[3]{6^{2} x^{2}}}{6 x}$

Schritt 13.2.9.3

Potenziere $6$ mit $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} \sqrt[3]{36 x^{2}}}{6 x}$

Schritt 13.2.10

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x^{6} + 6 C) \cdot 36 x^{2}}}{6 x}$

Schritt 13.2.11

Stelle die Faktoren in $\frac{\sqrt[3]{(x^{6} + 6 C) \cdot 36 x^{2}}}{6 x}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{36 x^{2} (x^{6} + 6 C)}}{6 x}$

Schritt 14

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\sqrt[3]{36 x^{2} (x^{6} + C)}}{6 x}$