Analysis Beispiele

$x y^{2} d x + e^{x} d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $x y^{2} d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$e^{x} d y = - x y^{2} d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{e^{x} y^{2}}$ .

$\frac{1}{e^{x} y^{2}} e^{x} d y = \frac{1}{e^{x} y^{2}} (- x y^{2}) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x}$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} y^{2}$ heraus.

$\frac{1}{e^{x} (y^{2})} e^{x} d y = \frac{1}{e^{x} y^{2}} (- x y^{2}) d x$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{e^{x} y^{2}} e^{x} d y = \frac{1}{e^{x} y^{2}} (- x y^{2}) d x$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{e^{x} y^{2}} (- x y^{2}) d x$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - \frac{1}{e^{x} y^{2}} (x y^{2}) d x$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 3.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{e^{x} y^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{e^{x} y^{2}} (x y^{2}) d x$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $y^{2}$ aus $e^{x} y^{2}$ heraus.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{y^{2} e^{x}} (x y^{2}) d x$

Schritt 3.3.3

Faktorisiere $y^{2}$ aus $x y^{2}$ heraus.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{y^{2} e^{x}} (y^{2} x) d x$

Schritt 3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{y^{2} e^{x}} (y^{2} x) d x$

Schritt 3.3.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{e^{x}} x d x$

Schritt 3.4

Kombiniere $\frac{- 1}{e^{x}}$ und $x$ .

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- x}{e^{x}} d x$

Schritt 3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - \frac{x}{e^{x}} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.2.1.1

Bringe $y^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Schritt 4.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Schritt 4.2.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Schritt 4.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- 2}$ nach $y$ gleich $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Schritt 4.2.3

Schreibe $- y^{- 1} + C_{1}$ als $- \frac{1}{y} + C_{1}$ um.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int \frac{x}{e^{x}} d x$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.2.1

Kehre das Vorzeichen des Exponenten von $e^{x}$ um und ziehe es aus dem Nenner heraus.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int x {(e^{x})}^{- 1} d x$

Schritt 4.3.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{x})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.3.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int x e^{x \cdot - 1} d x$

Schritt 4.3.2.2.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int x e^{- 1 \cdot x} d x$

Schritt 4.3.2.2.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int x e^{- x} d x$

Schritt 4.3.3

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{- x}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

Schritt 4.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

Schritt 4.3.5

Vereinfache.

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Schritt 4.3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

Schritt 4.3.5.2

Mutltipliziere $\int e^{- x} d x$ mit $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

Schritt 4.3.6

Sei $u = - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.3.6.1

Es sei $u = - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.3.6.1.1

Differenziere $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 4.3.6.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.3.6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 4.3.6.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 4.3.6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

Schritt 4.3.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

Schritt 4.3.8

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$

Schritt 4.3.9

Schreibe $- (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$ als $- (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{2}$ um.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{2}$

Schritt 4.3.10

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (- x e^{- x} - e^{- x}) + C_{2}$

Schritt 4.3.11

Vereinfache.

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Schritt 4.3.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (- x e^{- x}) - - e^{- x} + C_{2}$

Schritt 4.3.11.2

Multipliziere $- (- x e^{- x})$ .

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Schritt 4.3.11.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 1 (x e^{- x}) - - e^{- x} + C_{2}$

Schritt 4.3.11.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x e^{- x} - - e^{- x} + C_{2}$

Schritt 4.3.11.3

Multipliziere $- - e^{- x}$ .

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Schritt 4.3.11.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x e^{- x} + 1 e^{- x} + C_{2}$

Schritt 4.3.11.3.2

Mutltipliziere $e^{- x}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x e^{- x} + e^{- x} + C_{2}$

Schritt 4.3.12

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = e^{- x} x + e^{- x} + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$- \frac{1}{y} = e^{- x} x + e^{- x} + K$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y, 1, 1, 1$

Schritt 5.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y$

Schritt 5.2

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{y} = e^{- x} x + e^{- x} + K$ mit $y$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.2.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{y} = e^{- x} x + e^{- x} + K$ mit $y$ .

$- \frac{1}{y} y = e^{- x} x y + e^{- x} y + K y$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{y}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{y} y = e^{- x} x y + e^{- x} y + K y$

Schritt 5.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{y} y = e^{- x} x y + e^{- x} y + K y$

Schritt 5.2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 = e^{- x} x y + e^{- x} y + K y$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Stelle die Faktoren in $e^{- x} x y + e^{- x} y + K y$ um.

$- 1 = x y e^{- x} + y e^{- x} + K y$

Schritt 5.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Schreibe die Gleichung als $x y e^{- x} + y e^{- x} + K y = - 1$ um.

$x y e^{- x} + y e^{- x} + K y = - 1$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y$ aus $x y e^{- x} + y e^{- x} + K y$ heraus.

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Schritt 5.3.2.1

Faktorisiere $y$ aus $x y e^{- x}$ heraus.

$y (x e^{- x}) + y e^{- x} + K y = - 1$

Schritt 5.3.2.2

Faktorisiere $y$ aus $y e^{- x}$ heraus.

$y (x e^{- x}) + y (e^{- x}) + K y = - 1$

Schritt 5.3.2.3

Faktorisiere $y$ aus $K y$ heraus.

$y (x e^{- x}) + y (e^{- x}) + y K = - 1$

Schritt 5.3.2.4

Faktorisiere $y$ aus $y (x e^{- x}) + y (e^{- x})$ heraus.

$y (x e^{- x} + e^{- x}) + y K = - 1$

Schritt 5.3.2.5

Faktorisiere $y$ aus $y (x e^{- x} + e^{- x}) + y K$ heraus.

$y (x e^{- x} + e^{- x} + K) = - 1$

Schritt 5.3.3

Teile jeden Ausdruck in $y (x e^{- x} + e^{- x} + K) = - 1$ durch $x e^{- x} + e^{- x} + K$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y (x e^{- x} + e^{- x} + K) = - 1$ durch $x e^{- x} + e^{- x} + K$ .

$\frac{y (x e^{- x} + e^{- x} + K)}{x e^{- x} + e^{- x} + K} = \frac{- 1}{x e^{- x} + e^{- x} + K}$

Schritt 5.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x e^{- x} + e^{- x} + K$ .

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Schritt 5.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (x e^{- x} + e^{- x} + K)}{x e^{- x} + e^{- x} + K} = \frac{- 1}{x e^{- x} + e^{- x} + K}$

Schritt 5.3.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 1}{x e^{- x} + e^{- x} + K}$

Schritt 5.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{1}{x e^{- x} + e^{- x} + K}$