Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 1 + 6 x e^{x - y}$

Schritt 1

Es sei $v = e^{x - y}$ . Ersetze $v$ für alle $e^{x - y}$ .

$\frac{d y}{d x} = 1 + 6 x v$

Schritt 2

Finde $\frac{d v}{d x}$ durch Differenzierung von $e^{x - y}$ .

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x - y$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - y]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{u} \frac{d}{d x} [x - y]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x - y$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} \frac{d}{d x} [x - y]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

Schritt 2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 - \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.5

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 - y')$

Schritt 3

Ersetze $e^{x - y}$ durch $v$ .

$\frac{d v}{d x} = v (1 - y')$

Schritt 4

Setze die Ableitung wieder in die Differentialgleichung ein.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} + 1 = 1 + 6 x v$

Schritt 5

Separiere die Variablen.

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Schritt 5.1

Löse nach $\frac{d v}{d x}$ auf.

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Schritt 5.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d v}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} = 1 + 6 x v - 1$

Schritt 5.1.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 + 6 x v - 1$ .

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Schritt 5.1.1.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} = 6 x v + 0$

Schritt 5.1.1.2.2

Addiere $6 x v$ und $0$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} = 6 x v$

Schritt 5.1.2

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} = 6 x v$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} = 6 x v$ durch $- 1$ .

$\frac{- \frac{\frac{d v}{d x}}{v}}{- 1} = \frac{6 x v}{- 1}$

Schritt 5.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\frac{\frac{d v}{d x}}{v}}{1} = \frac{6 x v}{- 1}$

Schritt 5.1.2.2.2

Dividiere $\frac{\frac{d v}{d x}}{v}$ durch $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = \frac{6 x v}{- 1}$

Schritt 5.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1.2.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{6 x v}{- 1}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - 1 \cdot (6 x v)$

Schritt 5.1.2.3.2

Schreibe $- 1 \cdot (6 x v)$ als $- (6 x v)$ um.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - (6 x v)$

Schritt 5.1.2.3.3

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - 6 x v$

Schritt 5.1.3

Multipliziere beide Seiten mit $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = - 6 x v \cdot v$

Schritt 5.1.4

Vereinfache.

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Schritt 5.1.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v$ .

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Schritt 5.1.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = - 6 x v \cdot v$

Schritt 5.1.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d v}{d x} = - 6 x v \cdot v$

Schritt 5.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1.4.2.1

Multipliziere $v$ mit $v$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.4.2.1.1

Bewege $v$ .

$\frac{d v}{d x} = - 6 x (v \cdot v)$

Schritt 5.1.4.2.1.2

Mutltipliziere $v$ mit $v$ .

$\frac{d v}{d x} = - 6 x v^{2}$

Schritt 5.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{v^{2}}$ .

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} (- 6 x v^{2})$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = - 6 \frac{1}{v^{2}} (x v^{2})$

Schritt 5.3.2

Kombiniere $- 6$ und $\frac{1}{v^{2}}$ .

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{- 6}{v^{2}} (x v^{2})$

Schritt 5.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v^{2}$ .

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Schritt 5.3.3.1

Faktorisiere $v^{2}$ aus $x v^{2}$ heraus.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{- 6}{v^{2}} (v^{2} x)$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{- 6}{v^{2}} (v^{2} x)$

Schritt 5.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = - 6 x$

Schritt 5.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{v^{2}} d v = - 6 x d x$

Schritt 6

Integriere beide Seiten.

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Schritt 6.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{v^{2}} d v = \int - 6 x d x$

Schritt 6.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 6.2.1.1

Bringe $v^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(v^{2})}^{- 1} d v = \int - 6 x d x$

Schritt 6.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(v^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 6.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int v^{2 \cdot - 1} d v = \int - 6 x d x$

Schritt 6.2.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int v^{- 2} d v = \int - 6 x d x$

Schritt 6.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $v^{- 2}$ nach $v$ gleich $- v^{- 1}$ .

$- v^{- 1} + C_{1} = \int - 6 x d x$

Schritt 6.2.3

Schreibe $- v^{- 1} + C_{1}$ als $- \frac{1}{v} + C_{1}$ um.

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \int - 6 x d x$

Schritt 6.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 6$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{v} + C_{1} = - 6 \int x d x$

Schritt 6.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{v} + C_{1} = - 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Schritt 6.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.3.3.1

Schreibe $- 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ als $- 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ um.

$- \frac{1}{v} + C_{1} = - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Schritt 6.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 6.3.3.2.1

Kombiniere $- 6$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \frac{- 6}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 6.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $2$ .

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Schritt 6.3.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 3}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 6.3.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.3.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} x^{2} + C_{2}$

Schritt 6.3.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{2}$

Schritt 6.3.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \frac{- 3}{1} x^{2} + C_{2}$

Schritt 6.3.3.2.2.2.4

Dividiere $- 3$ durch $1$ .

$- \frac{1}{v} + C_{1} = - 3 x^{2} + C_{2}$

Schritt 6.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$- \frac{1}{v} = - 3 x^{2} + K$

Schritt 7

Löse nach $v$ auf.

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Schritt 7.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 7.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$v, 1, 1$

Schritt 7.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$v$

Schritt 7.2

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{v} = - 3 x^{2} + K$ mit $v$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 7.2.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{v} = - 3 x^{2} + K$ mit $v$ .

$- \frac{1}{v} v = - 3 x^{2} v + K v$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v$ .

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Schritt 7.2.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{v}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{v} v = - 3 x^{2} v + K v$

Schritt 7.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{v} v = - 3 x^{2} v + K v$

Schritt 7.2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 = - 3 x^{2} v + K v$

Schritt 7.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 7.3.1

Schreibe die Gleichung als $- 3 x^{2} v + K v = - 1$ um.

$- 3 x^{2} v + K v = - 1$

Schritt 7.3.2

Faktorisiere $v$ aus $- 3 x^{2} v + K v$ heraus.

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Schritt 7.3.2.1

Faktorisiere $v$ aus $- 3 x^{2} v$ heraus.

$v (- 3 x^{2}) + K (v) = - 1$

Schritt 7.3.2.2

Faktorisiere $v$ aus $K v$ heraus.

$v (- 3 x^{2}) + v (K) = - 1$

Schritt 7.3.2.3

Faktorisiere $v$ aus $v (- 3 x^{2}) + v (K)$ heraus.

$v (- 3 x^{2} + K) = - 1$

Schritt 7.3.3

Teile jeden Ausdruck in $v (- 3 x^{2} + K) = - 1$ durch $- 3 x^{2} + K$ und vereinfache.

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Schritt 7.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $v (- 3 x^{2} + K) = - 1$ durch $- 3 x^{2} + K$ .

$\frac{v (- 3 x^{2} + K)}{- 3 x^{2} + K} = \frac{- 1}{- 3 x^{2} + K}$

Schritt 7.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3 x^{2} + K$ .

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Schritt 7.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{v (- 3 x^{2} + K)}{- 3 x^{2} + K} = \frac{- 1}{- 3 x^{2} + K}$

Schritt 7.3.3.2.1.2

Dividiere $v$ durch $1$ .

$v = \frac{- 1}{- 3 x^{2} + K}$

Schritt 7.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$v = - \frac{1}{- 3 x^{2} + K}$

Schritt 7.3.3.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$v = - \frac{1}{- (3 x^{2}) + K}$

Schritt 7.3.3.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $K$ heraus.

$v = - \frac{1}{- (3 x^{2}) - 1 (- K)}$

Schritt 7.3.3.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{2}) - 1 (- K)$ heraus.

$v = - \frac{1}{- (3 x^{2} - K)}$

Schritt 7.3.3.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.3.3.3.5.1

Schreibe $- (3 x^{2} - K)$ als $- 1 (3 x^{2} - K)$ um.

$v = - \frac{1}{- 1 (3 x^{2} - K)}$

Schritt 7.3.3.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$v = - - \frac{1}{3 x^{2} - K}$

Schritt 7.3.3.3.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$v = 1 \frac{1}{3 x^{2} - K}$

Schritt 7.3.3.3.5.4

Mutltipliziere $\frac{1}{3 x^{2} - K}$ mit $1$ .

$v = \frac{1}{3 x^{2} - K}$

Schritt 8

Vereinfache die Konstante der Integration.

$v = \frac{1}{3 x^{2} + K}$

Schritt 9

Ersetze alle $v$ durch $e^{x - y}$ .

$e^{x - y} = \frac{1}{3 x^{2} + K}$

Schritt 10

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 10.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x - y}) = \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K})$

Schritt 10.2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 10.2.1

Zerlege $\ln (e^{x - y})$ durch Herausziehen von $x - y$ aus dem Logarithmus.

$(x - y) \ln (e) = \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K})$

Schritt 10.2.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$(x - y) \cdot 1 = \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K})$

Schritt 10.2.3

Mutltipliziere $x - y$ mit $1$ .

$x - y = \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K})$

Schritt 10.3

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y = \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K}) - x$

Schritt 10.4

Teile jeden Ausdruck in $- y = \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K}) - x$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 10.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- y = \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K}) - x$ durch $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\ln (\frac{1}{3 x^{2} + K})}{- 1} + \frac{- x}{- 1}$

Schritt 10.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} = \frac{\ln (\frac{1}{3 x^{2} + K})}{- 1} + \frac{- x}{- 1}$

Schritt 10.4.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{1}{3 x^{2} + K})}{- 1} + \frac{- x}{- 1}$

Schritt 10.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.4.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\ln (\frac{1}{3 x^{2} + K})}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K}) + \frac{- x}{- 1}$

Schritt 10.4.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K})$ als $- \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K})$ um.

$y = - \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K}) + \frac{- x}{- 1}$

Schritt 10.4.3.1.3

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = - \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K}) + \frac{x}{1}$

Schritt 10.4.3.1.4

Dividiere $x$ durch $1$ .

$y = - \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K}) + x$