Analysis Beispiele

$(4 x^{3} y^{3} - 2 x y) d x + (3 x^{4} y^{2} - x^{2}) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 4 x^{3} y^{3} - 2 x y$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 x^{3} y^{3} - 2 x y]$

Schritt 1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{3} y^{3} - 2 x y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [4 x^{3} y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 x^{3} y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [4 x^{3} y^{3}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $4 x^{3}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3} y^{3}$ nach $y$ gleich $4 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x^{3} (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [- 2 x y]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 x^{3} y^{2} + \frac{d}{d y} [- 2 x y]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d y} [- 2 x y]$ .

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Schritt 1.4.1

Da $- 2 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x y$ nach $y$ gleich $- 2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 x^{3} y^{2} - 2 x \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 x^{3} y^{2} - 2 x \cdot 1$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 x^{3} y^{2} - 2 x$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = 3 x^{4} y^{2} - x^{2}$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{4} y^{2} - x^{2}]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{4} y^{2} - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{4} y^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $3 y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{4} y^{2}$ nach $x$ gleich $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 y^{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 y^{2} x^{3} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 y^{2} x^{3} - (2 x)$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 y^{2} x^{3} - 2 x$

Schritt 2.5

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 x^{3} y^{2} - 2 x$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $12 x^{3} y^{2} - 2 x$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $12 x^{3} y^{2} - 2 x$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$12 x^{3} y^{2} - 2 x = 12 x^{3} y^{2} - 2 x$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$12 x^{3} y^{2} - 2 x = 12 x^{3} y^{2} - 2 x$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 4 x^{3} y^{3} - 2 x y d x$

Schritt 5

Integriere $M (x, y) = 4 x^{3} y^{3} - 2 x y$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 5.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int 4 x^{3} y^{3} d x + \int - 2 x y d x$

Schritt 5.2

Da $4 y^{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4 y^{3}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = 4 y^{3} \int x^{3} d x + \int - 2 x y d x$

Schritt 5.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$f (x, y) = 4 y^{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 2 x y d x$

Schritt 5.4

Da $- 2 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2 y$ aus dem Integral.

$f (x, y) = 4 y^{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 2 y \int x d x$

Schritt 5.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 4 y^{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 5.6

Vereinfache.

$f (x, y) = 4 \cdot \frac{1}{4} y^{3} x^{4} - 2 y (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Schritt 5.7

Vereinfache.

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Schritt 5.7.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = \frac{4}{4} y^{3} x^{4} - 2 y (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Schritt 5.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = \frac{4}{4} y^{3} x^{4} - 2 y (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Schritt 5.7.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = 1 y^{3} x^{4} - 2 y (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Schritt 5.7.3

Mutltipliziere $y^{3}$ mit $1$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{4} - 2 y (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Schritt 5.7.4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{4} - 2 y \frac{x^{2}}{2} + C$

Schritt 5.7.5

Kombiniere $- 2$ und $\frac{x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{4} + y \frac{- 2 x^{2}}{2} + C$

Schritt 5.7.6

Kombiniere $y$ und $\frac{- 2 x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{4} + \frac{y (- 2 x^{2})}{2} + C$

Schritt 5.7.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 5.7.7.1

Faktorisiere $2$ aus $y (- 2 x^{2})$ heraus.

$f (x, y) = y^{3} x^{4} + \frac{2 (y (- x^{2}))}{2} + C$

Schritt 5.7.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.7.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (x, y) = y^{3} x^{4} + \frac{2 (y (- x^{2}))}{2 (1)} + C$

Schritt 5.7.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = y^{3} x^{4} + \frac{2 (y (- x^{2}))}{2 \cdot 1} + C$

Schritt 5.7.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = y^{3} x^{4} + \frac{y (- x^{2})}{1} + C$

Schritt 5.7.7.2.4

Dividiere $y (- x^{2})$ durch $1$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{4} + y (- x^{2}) + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = y^{3} x^{4} + y (- x^{2}) + g (y)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x^{4} y^{2} - x^{2}$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} x^{4} + y (- x^{2}) + g (y)] = 3 x^{4} y^{2} - x^{2}$

Schritt 8.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{3} x^{4} + y (- x^{2}) + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y^{3} x^{4}] + \frac{d}{d y} [y (- x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} x^{4}] + \frac{d}{d y} [y (- x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{4} y^{2} - x^{2}$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d y} [y^{3} x^{4}]$ .

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Schritt 8.3.1

Da $x^{4}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $y^{3} x^{4}$ nach $y$ gleich $x^{4} \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$x^{4} \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y (- x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{4} y^{2} - x^{2}$

Schritt 8.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$x^{4} (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [y (- x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{4} y^{2} - x^{2}$

Schritt 8.3.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{4}$ .

$3 x^{4} y^{2} + \frac{d}{d y} [y (- x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{4} y^{2} - x^{2}$

Schritt 8.4

Berechne $\frac{d}{d y} [y (- x^{2})]$ .

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Schritt 8.4.1

Da $- x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $y (- x^{2})$ nach $y$ gleich $- x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 x^{4} y^{2} - x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{4} y^{2} - x^{2}$

Schritt 8.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 x^{4} y^{2} - x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{4} y^{2} - x^{2}$

Schritt 8.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$3 x^{4} y^{2} - x^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{4} y^{2} - x^{2}$

Schritt 8.5

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$3 x^{4} y^{2} - x^{2} + \frac{d g}{d y} = 3 x^{4} y^{2} - x^{2}$

Schritt 8.6

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} - x^{2} + 3 x^{4} y^{2} = 3 x^{4} y^{2} - x^{2}$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 9.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1.1

Addiere $x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{4} y^{2} = 3 x^{4} y^{2} - x^{2} + x^{2}$

Schritt 9.1.2

Subtrahiere $3 x^{4} y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = 3 x^{4} y^{2} - x^{2} + x^{2} - 3 x^{4} y^{2}$

Schritt 9.1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 x^{4} y^{2} - x^{2} + x^{2} - 3 x^{4} y^{2}$ .

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Schritt 9.1.3.1

Addiere $- x^{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 x^{4} y^{2} + 0 - 3 x^{4} y^{2}$

Schritt 9.1.3.2

Addiere $3 x^{4} y^{2}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 x^{4} y^{2} - 3 x^{4} y^{2}$

Schritt 9.1.3.3

Subtrahiere $3 x^{4} y^{2}$ von $3 x^{4} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $0$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Schritt 10.3

Das Integral von $0$ nach $y$ ist $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Schritt 10.4

Addiere $0$ und $C$ .

$g (y) = C$

Schritt 11

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = y^{3} x^{4} + y (- x^{2}) + g (y)$ ein.

$f (x, y) = y^{3} x^{4} + y (- x^{2}) + C$

Schritt 12

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f (x, y) = y^{3} x^{4} - y x^{2} + C$