Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} + y^{2}}{2 x y}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als eine Funktion von $\frac{y}{x}$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Spalte $\frac{3 x^{2} + y^{2}}{2 x y}$ auf und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Zerlege den Bruch $\frac{3 x^{2} + y^{2}}{2 x y}$ in zwei Brüche.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 x)}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Schritt 1.1.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 x)}{x (2 y)} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Schritt 1.1.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 x)}{x (2 y)} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Schritt 1.1.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{2 y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Schritt 1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{2}$ und $y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.2.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{2 y} + \frac{y \cdot y}{2 x y}$

Schritt 1.1.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.2.2.1

Faktorisiere $y$ aus $2 x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{2 y} + \frac{y \cdot y}{y (2 x)}$

Schritt 1.1.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{2 y} + \frac{y \cdot y}{y (2 x)}$

Schritt 1.1.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{2 y} + \frac{y}{2 x}$

Schritt 1.2

Schreibe die Differentialgleichung als $f (\frac{y}{x})$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Klammere $\frac{x}{y}$ von $\frac{3 x}{2 y}$ aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.1

Faktorisiere $\frac{x}{y}$ aus $\frac{3 x}{2 y}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} \cdot \frac{3}{2} + \frac{y}{2 x}$

Schritt 1.2.1.2

Stelle $\frac{x}{y}$ und $\frac{3}{2}$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{2} \cdot \frac{x}{y} + \frac{y}{2 x}$

Schritt 1.2.2

Schreibe $\frac{x}{y}$ als ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{2} {(\frac{y}{x})}^{- 1} + \frac{y}{2 x}$

Schritt 1.3

Klammere $\frac{y}{x}$ von $\frac{y}{2 x}$ aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Faktorisiere $\frac{y}{x}$ aus $\frac{y}{2 x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{2} {(\frac{y}{x})}^{- 1} + \frac{y}{x} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 1.3.2

Stelle $\frac{y}{x}$ und $\frac{1}{2}$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{2} {(\frac{y}{x})}^{- 1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x}$

Schritt 2

Es gilt $V = \frac{y}{x}$ . Ersetze $V$ für $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{2} V^{- 1} + \frac{1}{2} V$

Schritt 3

Löse $V = \frac{y}{x}$ nach $y$ auf.

$y = V x$

Schritt 4

Verwende die Produktregel um die Ableitung von $y = V x$ nach $x$ zu finden.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Schritt 5

Ersetze $\frac{d y}{d x}$ durch $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{3}{2} V^{- 1} + \frac{1}{2} V$

Schritt 6

Löse die substituierte Differentialgleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Separiere die Variablen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1

Löse nach $\frac{d V}{d x}$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{V} + \frac{1}{2} V$

Schritt 6.1.1.1.2

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $\frac{1}{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{3}{2 V} + \frac{1}{2} V$

Schritt 6.1.1.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{3}{2 V} + \frac{V}{2}$

Schritt 6.1.1.2

Subtrahiere $V$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{3}{2 V} + \frac{V}{2} - V$

Schritt 6.1.1.3

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = \frac{3}{2 V} + \frac{V}{2} - V$ durch $x$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = \frac{3}{2 V} + \frac{V}{2} - V$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{3}{2 V}}{x} + \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Schritt 6.1.1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{3}{2 V}}{x} + \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Schritt 6.1.1.3.2.1.2

Dividiere $\frac{d V}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{2 V}}{x} + \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1.3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{2 V} + \frac{V}{2} - V}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2

Um $- V$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{2 V} + \frac{V}{2} - V \cdot \frac{2}{2}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.3

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1.3.3.3.1

Kombiniere $- V$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{2 V} + \frac{V}{2} + \frac{- V \cdot 2}{2}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{2 V} + \frac{V - V \cdot 2}{2}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.3.3

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1.3.3.3.3.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1.3.3.3.3.1.1

Faktorisiere $V$ aus $V - V \cdot 2$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1.3.3.3.3.1.1.1

Potenziere $V$ mit $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{2 V} + \frac{V^{1} - V \cdot 2}{2}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.3.3.1.1.2

Faktorisiere $V$ aus $V^{1}$ heraus.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{2 V} + \frac{V \cdot 1 - V \cdot 2}{2}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.3.3.1.1.3

Faktorisiere $V$ aus $- V \cdot 2$ heraus.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{2 V} + \frac{V \cdot 1 + V (- 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.3.3.1.1.4

Faktorisiere $V$ aus $V \cdot 1 + V (- 1 \cdot 2)$ heraus.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{2 V} + \frac{V (1 - 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{2 V} + \frac{V (1 - 2)}{2}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.3.3.1.3

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{2 V} + \frac{V \cdot - 1}{2}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.3.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{2 V} + \frac{- 1 \cdot V}{2}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.3.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{2 V} - \frac{V}{2}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1.3.3.4.1

Um $- \frac{V}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{2 V} - \frac{V}{2} \cdot \frac{V}{V}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.4.2

Mutltipliziere $\frac{V}{2}$ mit $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{2 V} - \frac{V \cdot V}{2 V}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 - V \cdot V}{2 V}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.4.4

Multipliziere $V$ mit $V$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1.3.3.4.4.1

Bewege $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 - (V \cdot V)}{2 V}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.4.4.2

Mutltipliziere $V$ mit $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 - V^{2}}{2 V}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{d V}{d x} = \frac{3 - V^{2}}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.6

Mutltipliziere $\frac{3 - V^{2}}{2 V}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{3 - V^{2}}{2 V x}$

Schritt 6.1.2

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d V}{d x} = \frac{3 - V^{2}}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{2 V}{3 - V^{2}}$ .

$\frac{2 V}{3 - V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{3 - V^{2}} (\frac{3 - V^{2}}{2 V} \cdot \frac{1}{x})$

Schritt 6.1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{3 - V^{2}}{2 V}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2 V}{3 - V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{3 - V^{2}} \cdot \frac{3 - V^{2}}{2 V x}$

Schritt 6.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 V$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.4.2.1

Faktorisiere $2 V$ aus $2 V x$ heraus.

$\frac{2 V}{3 - V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{3 - V^{2}} \cdot \frac{3 - V^{2}}{2 V (x)}$

Schritt 6.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 V}{3 - V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{3 - V^{2}} \cdot \frac{3 - V^{2}}{2 V x}$

Schritt 6.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 V}{3 - V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{3 - V^{2}} \cdot \frac{3 - V^{2}}{x}$

Schritt 6.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 - V^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 V}{3 - V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{3 - V^{2}} \cdot \frac{3 - V^{2}}{x}$

Schritt 6.1.4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 V}{3 - V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{2 V}{3 - V^{2}} d V = \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{2 V}{3 - V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2

Integriere die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $V$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \frac{V}{3 - V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.2

Sei $u = 3 - V^{2}$ . Dann ist $d u = - 2 V d V$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = V d V$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.2.1

Es sei $u = 3 - V^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d V}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.2.1.1

Differenziere $3 - V^{2}$ .

$\frac{d}{d V} [3 - V^{2}]$

Schritt 6.2.2.2.1.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 - V^{2}$ nach $V$ $\frac{d}{d V} [3] + \frac{d}{d V} [- V^{2}]$ .

$\frac{d}{d V} [3] + \frac{d}{d V} [- V^{2}]$

Schritt 6.2.2.2.1.2.2

Da $3$ konstant bezüglich $V$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $V$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d V} [- V^{2}]$

Schritt 6.2.2.2.1.3

Berechne $\frac{d}{d V} [- V^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.2.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $V$ ist, ist die Ableitung von $- V^{2}$ nach $V$ gleich $- \frac{d}{d V} [V^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d V} [V^{2}]$

Schritt 6.2.2.2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ gleich $n V^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - (2 V)$

Schritt 6.2.2.2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$0 - 2 V$

Schritt 6.2.2.2.1.4

Subtrahiere $2 V$ von $0$ .

$- 2 V$

Schritt 6.2.2.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$2 \int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$2 \int - \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$2 (- \int \frac{1}{2 u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.7.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 2$ .

$\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.7.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.7.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.7.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.7.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.7.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.7.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.8

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.9

Vereinfache.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.10

Ersetze alle $u$ durch $3 - V^{2}$ .

$- \ln (| 3 - V^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$- \ln (| 3 - V^{2} |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 6.2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \ln (| 3 - V^{2} |) = \ln (| x |) + C$

Schritt 6.3

Löse nach $V$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$- \ln (| 3 - {| x |}^{2} |) - \ln (| x |) = C$

Schritt 6.3.2

Addiere $\ln (| x |)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- \ln (| 3 - V^{2} |) = C + \ln (| x |)$

Schritt 6.3.3

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (| 3 - V^{2} |) = C + \ln (| x |)$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (| 3 - V^{2} |) = C + \ln (| x |)$ durch $- 1$ .

$\frac{- \ln (| 3 - V^{2} |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Schritt 6.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\ln (| 3 - V^{2} |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Schritt 6.3.3.2.2

Dividiere $\ln (| 3 - V^{2} |)$ durch $1$ .

$\ln (| 3 - V^{2} |) = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Schritt 6.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.3.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| 3 - V^{2} |) = - 1 \cdot C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Schritt 6.3.3.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot C$ als $- C$ um.

$\ln (| 3 - V^{2} |) = - C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Schritt 6.3.3.3.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ .

$\ln (| 3 - V^{2} |) = - C - 1 \cdot \ln (| x |)$

Schritt 6.3.3.3.1.4

Schreibe $- 1 \cdot \ln (| x |)$ als $- \ln (| x |)$ um.

$\ln (| 3 - V^{2} |) = - C - \ln (| x |)$

Schritt 6.3.4

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| 3 - V^{2} |) + \ln (| x |) = - C$

Schritt 6.3.5

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 3 - V^{2} | | x |) = - C$

Schritt 6.3.6

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$\ln (| (3 - V^{2}) x |) = - C$

Schritt 6.3.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| 3 x - V^{2} x |) = - C$

Schritt 6.3.8

Um nach $V$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| 3 x - V^{2} x |)} = e^{- C}$

Schritt 6.3.9

Schreibe $\ln (| 3 x - V^{2} x |) = - C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = | 3 x - V^{2} x |$

Schritt 6.3.10

Löse nach $V$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.10.1

Schreibe die Gleichung als $| 3 x - V^{2} x | = e^{- C}$ um.

$| 3 x - V^{2} x | = e^{- C}$

Schritt 6.3.10.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$3 x - V^{2} x = \pm e^{- C}$

Schritt 6.3.10.3

Subtrahiere $3 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- V^{2} x = \pm e^{- C} - 3 x$

Schritt 6.3.10.4

Teile jeden Ausdruck in $- V^{2} x = \pm e^{- C} - 3 x$ durch $- x$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.10.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- V^{2} x = \pm e^{- C} - 3 x$ durch $- x$ .

$\frac{- V^{2} x}{- x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- 3 x}{- x}$

Schritt 6.3.10.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.10.4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{V^{2} x}{x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- 3 x}{- x}$

Schritt 6.3.10.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.10.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{V^{2} x}{x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- 3 x}{- x}$

Schritt 6.3.10.4.2.2.2

Dividiere $V^{2}$ durch $1$ .

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- 3 x}{- x}$

Schritt 6.3.10.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.10.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.10.4.3.1.1

Vereinfache $\frac{\pm e^{- C}}{- x}$ .

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{- 3 x}{- x}$

Schritt 6.3.10.4.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.10.4.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{- 3 x}{- x}$

Schritt 6.3.10.4.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 6.3.10.4.3.1.2.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{- 3}{- 1}$ .

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{x} - 1 \cdot - 3$

Schritt 6.3.10.4.3.1.3

Schreibe $- 1 \cdot - 3$ als $- - 3$ um.

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{x} - - 3$

Schritt 6.3.10.4.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{x} + 3$

Schritt 6.3.10.5

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{- C}}{x} + 3}$

Schritt 6.3.10.6

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{\pm e^{- C}}{x} + 3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.10.6.1

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{3 x}{x}}$

Schritt 6.3.10.6.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{- C} + 3 x}{x}}$

Schritt 6.3.10.6.3

Schreibe $\sqrt{\frac{\pm e^{- C} + 3 x}{x}}$ als $\frac{\sqrt{\pm e^{- C} + 3 x}}{\sqrt{x}}$ um.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + 3 x}}{\sqrt{x}}$

Schritt 6.3.10.6.4

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{\pm e^{- C} + 3 x}}{\sqrt{x}}$ mit $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + 3 x}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Schritt 6.3.10.6.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.10.6.5.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{\pm e^{- C} + 3 x}}{\sqrt{x}}$ mit $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + 3 x} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

Schritt 6.3.10.6.5.2

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + 3 x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

Schritt 6.3.10.6.5.3

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + 3 x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

Schritt 6.3.10.6.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + 3 x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Schritt 6.3.10.6.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + 3 x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Schritt 6.3.10.6.5.6

Schreibe ${\sqrt{x}}^{2}$ als $x$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.10.6.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + 3 x} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 6.3.10.6.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + 3 x} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 6.3.10.6.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + 3 x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.3.10.6.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.10.6.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + 3 x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.3.10.6.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + 3 x} \sqrt{x}}{x^{1}}$

Schritt 6.3.10.6.5.6.5

Vereinfache.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + 3 x} \sqrt{x}}{x}$

Schritt 6.3.10.6.6

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$V = \pm \frac{\sqrt{(\pm e^{- C} + 3 x) x}}{x}$

Schritt 6.3.10.6.7

Stelle die Faktoren in $\pm \frac{\sqrt{(\pm e^{- C} + 3 x) x}}{x}$ um.

$V = \pm \frac{\sqrt{x (\pm e^{- C} + 3 x)}}{x}$

Schritt 6.4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$V = \pm \frac{\sqrt{x (C + 3 x)}}{x}$

Schritt 7

Ersetze $V$ durch $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{x (C + 3 x)}}{x}$

Schritt 8

Löse $\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{x (C + 3 x)}}{x}$ nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{x (C + 3 x)}}{x}) x$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{x (C + 3 x)}}{x}) x$

Schritt 8.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = (\pm \frac{\sqrt{x (C + 3 x)}}{x}) x$