Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = - 2 x y^{2}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (- 2 x y^{2})$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = - 2 \frac{1}{y^{2}} (x y^{2})$

Schritt 1.2.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 2}{y^{2}} (x y^{2})$

Schritt 1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $x y^{2}$ heraus.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 2}{y^{2}} (y^{2} x)$

Schritt 1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 2}{y^{2}} (y^{2} x)$

Schritt 1.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = - 2 x$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - 2 x d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int - 2 x d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1.1

Bringe $y^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int - 2 x d x$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int - 2 x d x$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int - 2 x d x$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- 2}$ nach $y$ gleich $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int - 2 x d x$

Schritt 2.2.3

Schreibe $- y^{- 1} + C_{1}$ als $- \frac{1}{y} + C_{1}$ um.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - 2 x d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 2 \int x d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ als $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ um.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{- 2}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 2.3.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.3.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{- 1}{1} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$- \frac{1}{y} = - x^{2} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y, 1, 1$

Schritt 3.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y$

Schritt 3.2

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{y} = - x^{2} + K$ mit $y$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{y} = - x^{2} + K$ mit $y$ .

$- \frac{1}{y} y = - x^{2} y + K y$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{y}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{y} y = - x^{2} y + K y$

Schritt 3.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{y} y = - x^{2} y + K y$

Schritt 3.2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 = - x^{2} y + K y$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $- x^{2} y + K y = - 1$ um.

$- x^{2} y + K y = - 1$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $y$ aus $- x^{2} y + K y$ heraus.

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Schritt 3.3.2.1

Faktorisiere $y$ aus $- x^{2} y$ heraus.

$y (- x^{2}) + K y = - 1$

Schritt 3.3.2.2

Faktorisiere $y$ aus $K y$ heraus.

$y (- x^{2}) + y K = - 1$

Schritt 3.3.2.3

Faktorisiere $y$ aus $y (- x^{2}) + y K$ heraus.

$y (- x^{2} + K) = - 1$

Schritt 3.3.3

Teile jeden Ausdruck in $y (- x^{2} + K) = - 1$ durch $- x^{2} + K$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y (- x^{2} + K) = - 1$ durch $- x^{2} + K$ .

$\frac{y (- x^{2} + K)}{- x^{2} + K} = \frac{- 1}{- x^{2} + K}$

Schritt 3.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- x^{2} + K$ .

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Schritt 3.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (- x^{2} + K)}{- x^{2} + K} = \frac{- 1}{- x^{2} + K}$

Schritt 3.3.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 1}{- x^{2} + K}$

Schritt 3.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{1}{- x^{2} + K}$

Schritt 3.3.3.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$y = - \frac{1}{- (x^{2}) + K}$

Schritt 3.3.3.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $K$ heraus.

$y = - \frac{1}{- (x^{2}) - 1 (- K)}$

Schritt 3.3.3.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - 1 (- K)$ heraus.

$y = - \frac{1}{- (x^{2} - K)}$

Schritt 3.3.3.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.3.3.5.1

Schreibe $- (x^{2} - K)$ als $- 1 (x^{2} - K)$ um.

$y = - \frac{1}{- 1 (x^{2} - K)}$

Schritt 3.3.3.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - - \frac{1}{x^{2} - K}$

Schritt 3.3.3.3.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = 1 \frac{1}{x^{2} - K}$

Schritt 3.3.3.3.5.4

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{2} - K}$ mit $1$ .

$y = \frac{1}{x^{2} - K}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{1}{x^{2} + K}$