Analysis Beispiele

$d x - x^{2} d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} d y = - d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (- x^{2}) d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{1}{x^{2}} x^{2} d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

Schritt 3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

Schritt 3.3

Kombiniere $\frac{1}{x^{2}}$ und $- 1$ .

$- 1 d y = \frac{- 1}{x^{2}} d x$

Schritt 3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 1 d y = - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int - 1 d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 4.2

Wende die Konstantenregel an.

$- y + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- y + C_{1} = - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 4.3.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.3.2.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- y + C_{1} = - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 4.3.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.3.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- y + C_{1} = - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 4.3.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- y + C_{1} = - \int x^{- 2} d x$

Schritt 4.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$- y + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2})$

Schritt 4.3.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.3.4.1

Schreibe $- (- x^{- 1} + C_{2})$ als $- - \frac{1}{x} + C_{2}$ um.

$- y + C_{1} = - - \frac{1}{x} + C_{2}$

Schritt 4.3.4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- y + C_{1} = 1 \frac{1}{x} + C_{2}$

Schritt 4.3.4.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $1$ .

$- y + C_{1} = \frac{1}{x} + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$- y = \frac{1}{x} + K$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $- y = \frac{1}{x} + K$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $- y = \frac{1}{x} + K$ durch $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\frac{1}{x}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} = \frac{\frac{1}{x}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Schritt 5.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{x}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\frac{1}{x}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \frac{1}{x} + \frac{K}{- 1}$

Schritt 5.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot \frac{1}{x}$ als $- \frac{1}{x}$ um.

$y = - \frac{1}{x} + \frac{K}{- 1}$

Schritt 5.3.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{K}{- 1}$ .

$y = - \frac{1}{x} - 1 \cdot K$

Schritt 5.3.1.4

Schreibe $- 1 \cdot K$ als $- K$ um.

$y = - \frac{1}{x} - K$

Schritt 6

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = - \frac{1}{x} + K$