Analysis Beispiele

$3 y d x - (2 x + 1) d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $3 y d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- (2 x + 1) d y = - 3 y d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{(2 x + 1) y}$ .

$\frac{1}{(2 x + 1) y} (- (2 x + 1)) d y = \frac{1}{(2 x + 1) y} (- 3 y) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{1}{(2 x + 1) y} (2 x + 1) d y = \frac{1}{(2 x + 1) y} (- 3 y) d x$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x + 1$ .

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Schritt 3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{(2 x + 1) y}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{(2 x + 1) y} (2 x + 1) d y = \frac{1}{(2 x + 1) y} (- 3 y) d x$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $2 x + 1$ aus $(2 x + 1) y$ heraus.

$\frac{- 1}{(2 x + 1) (y)} (2 x + 1) d y = \frac{1}{(2 x + 1) y} (- 3 y) d x$

Schritt 3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{(2 x + 1) y} (2 x + 1) d y = \frac{1}{(2 x + 1) y} (- 3 y) d x$

Schritt 3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{y} d y = \frac{1}{(2 x + 1) y} (- 3 y) d x$

Schritt 3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{1}{(2 x + 1) y} (- 3 y) d x$

Schritt 3.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{1}{y} d y = - 3 \frac{1}{(2 x + 1) y} y d x$

Schritt 3.5

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{(2 x + 1) y}$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 3}{(2 x + 1) y} y d x$

Schritt 3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.6.1

Faktorisiere $y$ aus $(2 x + 1) y$ heraus.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 3}{y (2 x + 1)} y d x$

Schritt 3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 3}{y (2 x + 1)} y d x$

Schritt 3.6.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 3}{2 x + 1} d x$

Schritt 3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{y} d y = - \frac{3}{2 x + 1} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int - \frac{1}{y} d y = \int - \frac{3}{2 x + 1} d x$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{3}{2 x + 1} d x$

Schritt 4.2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$- (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{3}{2 x + 1} d x$

Schritt 4.2.3

Vereinfache.

$- \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{3}{2 x + 1} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{3}{2 x + 1} d x$

Schritt 4.3.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (3 \int \frac{1}{2 x + 1} d x)$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

Schritt 4.3.4

Sei $u = 2 x + 1$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.3.4.1

Es sei $u = 2 x + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.3.4.1.1

Differenziere $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Schritt 4.3.4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.3.4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 4.3.4.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.3.4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.3.4.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.3.4.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.3.4.1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 4.3.4.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 4.3.4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 4.3.5

Vereinfache.

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Schritt 4.3.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Schritt 4.3.5.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{2 u} d u$

Schritt 4.3.6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 4.3.7

Vereinfache.

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Schritt 4.3.7.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 3$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 3}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 4.3.7.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 4.3.8

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \frac{3}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Schritt 4.3.9

Vereinfache.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Schritt 4.3.10

Ersetze alle $u$ durch $2 x + 1$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \ln (| y |) = - \frac{3}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1.1

Kombiniere $\ln (| 2 x + 1 |)$ und $\frac{3}{2}$ .

$- \ln (| y |) = - \frac{\ln (| 2 x + 1 |) \cdot 3}{2} + C$

Schritt 5.1.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\ln (| 2 x + 1 |)$ .

$- \ln (| y |) = - \frac{3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$- \ln (| y |) + \frac{3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

Schritt 5.3

Um $- \ln (| y |)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \ln (| y |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

Schritt 5.4

Kombiniere $- \ln (| y |)$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- \ln (| y |) \cdot 2}{2} + \frac{3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

Schritt 5.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- \ln (| y |) \cdot 2 + 3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

Schritt 5.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{- 2 \ln (| y |) + 3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

Schritt 5.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 \ln (| y |)$ heraus.

$\frac{- (2 \ln (| y |)) + 3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

Schritt 5.8

Faktorisiere $- 1$ aus $3 \ln (| 2 x + 1 |)$ heraus.

$\frac{- (2 \ln (| y |)) - (- 3 \ln (| 2 x + 1 |))}{2} = C$

Schritt 5.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 \ln (| y |)) - (- 3 \ln (| 2 x + 1 |))$ heraus.

$\frac{- (2 \ln (| y |) - 3 \ln (| 2 x + 1 |))}{2} = C$

Schritt 5.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.10.1

Schreibe $- (2 \ln (| y |) - 3 \ln (| 2 x + 1 |))$ als $- 1 (2 \ln (| y |) - 3 \ln (| 2 x + 1 |))$ um.

$\frac{- 1 (2 \ln (| y |) - 3 \ln (| 2 x + 1 |))}{2} = C$

Schritt 5.10.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 \ln (| y |) - 3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

Schritt 5.11

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.11.1

Vereinfache $- \frac{2 \ln (| y |) - 3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2}$ .

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Schritt 5.11.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.11.1.1.1

Vereinfache $2 \ln (| y |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$- \frac{\ln ({| y |}^{2}) - 3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

Schritt 5.11.1.1.2

Entferne den Absolutwert in ${| y |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$- \frac{\ln (y^{2}) - 3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

Schritt 5.11.1.1.3

Vereinfache $- 3 \ln (| 2 x + 1 |)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$- \frac{\ln (y^{2}) - \ln ({| 2 x + 1 |}^{3})}{2} = C$

Schritt 5.11.1.1.4

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \frac{\ln (\frac{y^{2}}{{| 2 x + 1 |}^{3}})}{2} = C$

Schritt 5.11.1.2

Schreibe $\frac{\ln (\frac{y^{2}}{{| 2 x + 1 |}^{3}})}{2}$ als $\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{{| 2 x + 1 |}^{3}})$ um.

$- (\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{{| 2 x + 1 |}^{3}})) = C$

Schritt 5.11.1.3

Vereinfache $\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{{| 2 x + 1 |}^{3}})$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$- \ln ({(\frac{y^{2}}{{| 2 x + 1 |}^{3}})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Schritt 5.11.1.4

Wende die Produktregel auf $\frac{y^{2}}{{| 2 x + 1 |}^{3}}$ an.

$- \ln (\frac{{(y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{({| 2 x + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 5.11.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.11.1.5.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 5.11.1.5.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \ln (\frac{y^{2 (\frac{1}{2})}}{{({| 2 x + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 5.11.1.5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.11.1.5.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \ln (\frac{y^{2 (\frac{1}{2})}}{{({| 2 x + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 5.11.1.5.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- \ln (\frac{y^{1}}{{({| 2 x + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 5.11.1.5.2

Vereinfache.

$- \ln (\frac{y}{{({| 2 x + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 5.11.1.6

Multipliziere die Exponenten in ${({| 2 x + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 5.11.1.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{3 (\frac{1}{2})}}) = C$

Schritt 5.11.1.6.2

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}}) = C$

Schritt 5.12

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}}) = C$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.12.1

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}}) = C$ durch $- 1$ .

$\frac{- \ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}})}{- 1} = \frac{C}{- 1}$

Schritt 5.12.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.12.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}})}{1} = \frac{C}{- 1}$

Schritt 5.12.2.2

Dividiere $\ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}})$ durch $1$ .

$\ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}}) = \frac{C}{- 1}$

Schritt 5.12.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.12.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}}) = - 1 \cdot C$

Schritt 5.12.3.2

Schreibe $- 1 \cdot C$ als $- C$ um.

$\ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}}) = - C$

Schritt 5.13

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}})} = e^{- C}$

Schritt 5.14

Schreibe $\ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}}) = - C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = \frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 5.15

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.15.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = e^{- C}$ um.

$\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = e^{- C}$

Schritt 5.15.2

Multipliziere beide Seiten mit ${| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}} {| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{- C} {| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 5.15.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.15.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 5.15.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}} {| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{- C} {| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 5.15.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = e^{- C} {| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 6

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = C {| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}$