Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{e^{2 y}}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $e^{2 y}$ .

$e^{2 y} \frac{d y}{d x} = e^{2 y} \frac{2 x}{e^{2 y}}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{2 y}$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{2 y} \frac{d y}{d x} = e^{2 y} \frac{2 x}{e^{2 y}}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{2 y} \frac{d y}{d x} = 2 x$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$e^{2 y} d y = 2 x d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int e^{2 y} d y = \int 2 x d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u = 2 y$ . Dann ist $d u = 2 d y$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u = 2 y$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Schritt 2.2.1.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.2.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 2.2.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int e^{u} \frac{1}{2} d u = \int 2 x d x$

Schritt 2.2.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u}}{2} d u = \int 2 x d x$

Schritt 2.2.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u = \int 2 x d x$

Schritt 2.2.4

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C_{1}) = \int 2 x d x$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

$\frac{1}{2} e^{u} + C_{1} = \int 2 x d x$

Schritt 2.2.6

Ersetze alle $u$ durch $2 y$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \int 2 x d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 2 \int x d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ als $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ um.

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{2} e^{2 y} = x^{2} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} e^{2 y}) = 2 (x^{2} + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} e^{2 y})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 y}$ .

$2 \frac{e^{2 y}}{2} = 2 (x^{2} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{e^{2 y}}{2} = 2 (x^{2} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{2 y} = 2 (x^{2} + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{2 y} = 2 x^{2} + 2 K$

Schritt 3.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{2 y}) = \ln (2 x^{2} + 2 K)$

Schritt 3.4

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.4.1

Zerlege $\ln (e^{2 y})$ durch Herausziehen von $2 y$ aus dem Logarithmus.

$2 y \ln (e) = \ln (2 x^{2} + 2 K)$

Schritt 3.4.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$2 y \cdot 1 = \ln (2 x^{2} + 2 K)$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 y = \ln (2 x^{2} + 2 K)$

Schritt 3.5

Teile jeden Ausdruck in $2 y = \ln (2 x^{2} + 2 K)$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = \ln (2 x^{2} + 2 K)$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (2 x^{2} + 2 K)}{2}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (2 x^{2} + 2 K)}{2}$

Schritt 3.5.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (2 x^{2} + 2 K)}{2}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\ln (2 x^{2} + K)}{2}$