Analysis Beispiele

$\frac{d p}{d t} + 2 t p = p + 4 t - 2$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Subtrahiere $2 t p$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d p}{d t} = p + 4 t - 2 - 2 t p$

Schritt 1.2

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Stelle die Terme um.

$\frac{d p}{d t} = - 2 p t + p + 4 t - 2$

Schritt 1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{d p}{d t} = (- 2 p t + p) + 4 t - 2$

Schritt 1.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{d p}{d t} = p (- 2 t + 1) - 2 (- 2 t + 1)$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 2 t + 1$ .

$\frac{d p}{d t} = (- 2 t + 1) (p - 2)$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{p - 2}$ .

$\frac{1}{p - 2} \frac{d p}{d t} = \frac{1}{p - 2} ((- 2 t + 1) (p - 2))$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $p - 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Faktorisiere $p - 2$ aus $(- 2 t + 1) (p - 2)$ heraus.

$\frac{1}{p - 2} \frac{d p}{d t} = \frac{1}{p - 2} ((p - 2) (- 2 t + 1))$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{p - 2} \frac{d p}{d t} = \frac{1}{p - 2} ((p - 2) (- 2 t + 1))$

Schritt 1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{p - 2} \frac{d p}{d t} = - 2 t + 1$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{p - 2} d p = (- 2 t + 1) d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{p - 2} d p = \int - 2 t + 1 d t$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Sei $u = p - 2$ . Dann ist $d u = d p$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Es sei $u = p - 2$ . Ermittle $\frac{d u}{d p}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $p - 2$ .

$\frac{d}{d p} [p - 2]$

Schritt 2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $p - 2$ nach $p$ $\frac{d}{d p} [p] + \frac{d}{d p} [- 2]$ .

$\frac{d}{d p} [p] + \frac{d}{d p} [- 2]$

Schritt 2.2.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ gleich $n p^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d p} [- 2]$

Schritt 2.2.1.1.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $p$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $p$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.2.1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} d u = \int - 2 t + 1 d t$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - 2 t + 1 d t$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $p - 2$ .

$\ln (| p - 2 |) + C_{1} = \int - 2 t + 1 d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\ln (| p - 2 |) + C_{1} = \int - 2 t d t + \int d t$

Schritt 2.3.2

Da $- 2$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$\ln (| p - 2 |) + C_{1} = - 2 \int t d t + \int d t$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t$ nach $t$ gleich $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\ln (| p - 2 |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int d t$

Schritt 2.3.4

Wende die Konstantenregel an.

$\ln (| p - 2 |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + t + C_{3}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $t^{2}$ .

$\ln (| p - 2 |) + C_{1} = - 2 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + t + C_{3}$

Schritt 2.3.5.2

Vereinfache.

$\ln (| p - 2 |) + C_{1} = - t^{2} + t + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| p - 2 |) = - t^{2} + t + C$

Schritt 3

Löse nach $p$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Um nach $p$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| p - 2 |)} = e^{- t^{2} + t + C}$

Schritt 3.2

Schreibe $\ln (| p - 2 |) = - t^{2} + t + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- t^{2} + t + C} = | p - 2 |$

Schritt 3.3

Löse nach $p$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $| p - 2 | = e^{- t^{2} + t + C}$ um.

$| p - 2 | = e^{- t^{2} + t + C}$

Schritt 3.3.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$p - 2 = \pm e^{- t^{2} + t + C}$

Schritt 3.3.3

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$p = \pm e^{- t^{2} + t + C} + 2$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Schreibe $e^{- t^{2} + t + C}$ als $e^{- t^{2} + t} e^{C}$ um.

$p = \pm e^{- t^{2} + t} e^{C} + 2$

Schritt 4.2

Stelle $e^{- t^{2} + t}$ und $e^{C}$ um.

$p = \pm e^{C} e^{- t^{2} + t} + 2$

Schritt 4.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$p = C e^{- t^{2} + t} + 2$