Analysis Beispiele

$2 (2 x y + 4 y - 3) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 2 (2 x y + 4 y - 3)$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 (2 x y + 4 y - 3)]$

Schritt 1.2

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 (2 x y + 4 y - 3)$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [2 x y + 4 y - 3]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \frac{d}{d y} [2 x y + 4 y - 3]$

Schritt 1.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x y + 4 y - 3$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [- 3])$

Schritt 1.4

Da $2 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 x y$ nach $y$ gleich $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [- 3])$

Schritt 1.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [- 3])$

Schritt 1.6

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 x + \frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [- 3])$

Schritt 1.7

Da $4$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $4 y$ nach $y$ gleich $4 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 x + 4 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3])$

Schritt 1.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 3])$

Schritt 1.9

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 x + 4 + \frac{d}{d y} [- 3])$

Schritt 1.10

Da $- 3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 x + 4 + 0)$

Schritt 1.11

Addiere $2 x + 4$ und $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 x + 4)$

Schritt 1.12

Vereinfache.

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Schritt 1.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 x) + 2 \cdot 4$

Schritt 1.12.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.12.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x + 2 \cdot 4$

Schritt 1.12.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x + 8$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = {(x + 2)}^{2}$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2}]$

Schritt 2.2

Schreibe ${(x + 2)}^{2}$ als $(x + 2) (x + 2)$ um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [(x + 2) (x + 2)]$

Schritt 2.3

Multipliziere $(x + 2) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x + 2) + 2 (x + 2)]$

Schritt 2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)]$

Schritt 2.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2]$

Schritt 2.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2]$

Schritt 2.4.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2]$

Schritt 2.4.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 2 x + 4]$

Schritt 2.4.2

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4]$

Schritt 2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 4 x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 2.7

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 4 + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 2.10

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 4 + 0$

Schritt 2.11

Addiere $2 x + 4$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 4$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $4 x + 8$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $2 x + 4$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$4 x + 8 = 2 x + 4$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$4 x + 8 = 2 x + 4$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $4 x + 8$ .

$\frac{4 x + 8 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $2 x + 4$ .

$\frac{4 x + 8 - (2 x + 4)}{N}$

Schritt 4.3

Ersetze $N$ durch ${(x + 2)}^{2}$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $N$ durch ${(x + 2)}^{2}$ .

$\frac{4 x + 8 - (2 x + 4)}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x + 8 - (2 x) - 1 \cdot 4}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{4 x + 8 - 2 x - 1 \cdot 4}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 4.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{4 x + 8 - 2 x - 4}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 4.3.2.4

Subtrahiere $2 x$ von $4 x$ .

$\frac{2 x + 8 - 4}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 4.3.2.5

Subtrahiere $4$ von $8$ .

$\frac{2 x + 4}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 4.3.2.6

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 4$ heraus.

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Schritt 4.3.2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{2 (x) + 4}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 4.3.2.6.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 x + 2 \cdot 2}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 4.3.2.6.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2 \cdot 2$ heraus.

$\frac{2 (x + 2)}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x + 2$ und ${(x + 2)}^{2}$ .

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Schritt 4.3.3.1

Faktorisiere $x + 2$ aus $2 (x + 2)$ heraus.

$\frac{(x + 2) \cdot 2}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 4.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.3.2.1

Faktorisiere $x + 2$ aus ${(x + 2)}^{2}$ heraus.

$\frac{(x + 2) \cdot 2}{(x + 2) (x + 2)}$

Schritt 4.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 2) \cdot 2}{(x + 2) (x + 2)}$

Schritt 4.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{x + 2}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{x + 2} d x}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int \frac{2}{x + 2} d x}$ .

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Schritt 5.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{x + 2} d x}$

Schritt 5.2

Sei $u = x + 2$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.2.1

Es sei $u = x + 2$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Differenziere $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Schritt 5.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 5.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 5.2.1.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 5.2.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 5.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{u} d u}$

Schritt 5.3

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| u |) + C)}$

Schritt 5.4

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| u |)} + C$

Schritt 5.5

Ersetze alle $u$ durch $x + 2$ .

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| x + 2 |)} + C$

Schritt 5.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.6.1

Vereinfache $2 \ln (| x + 2 |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x + 2 |}^{2})} + C$

Schritt 5.6.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| x + 2 |}^{2} + C$

Schritt 5.6.3

Entferne den Absolutwert in ${| x + 2 |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$μ (x, y) = {(x + 2)}^{2} + C$

Schritt 5.6.4

Schreibe ${(x + 2)}^{2}$ als $(x + 2) (x + 2)$ um.

$μ (x, y) = (x + 2) (x + 2) + C$

Schritt 5.6.5

Multipliziere $(x + 2) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.6.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$μ (x, y) = x (x + 2) + 2 (x + 2) + C$

Schritt 5.6.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$μ (x, y) = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2) + C$

Schritt 5.6.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$μ (x, y) = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 + C$

Schritt 5.6.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.6.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.6.6.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$μ (x, y) = x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 + C$

Schritt 5.6.6.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$μ (x, y) = x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2 + C$

Schritt 5.6.6.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$μ (x, y) = x^{2} + 2 x + 2 x + 4 + C$

Schritt 5.6.6.2

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$μ (x, y) = x^{2} + 4 x + 4 + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $2 (2 x y + 4 y - 3) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $x^{2} + 4 x + 4$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $2 (2 x y + 4 y - 3)$ mit $x^{2} + 4 x + 4$ .

$2 (2 x y + 4 y - 3) (x^{2} + 4 x + 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 (2 x y) + 2 (4 y) + 2 \cdot - 3) (x^{2} + 4 x + 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(4 (x y) + 2 (4 y) + 2 \cdot - 3) (x^{2} + 4 x + 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Schritt 6.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$(4 (x y) + 8 y + 2 \cdot - 3) (x^{2} + 4 x + 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Schritt 6.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$(4 (x y) + 8 y - 6) (x^{2} + 4 x + 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Schritt 6.4

Multipliziere $(4 x y + 8 y - 6) (x^{2} + 4 x + 4)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$(4 x y x^{2} + 4 x y (4 x) + 4 x y \cdot 4 + 8 y x^{2} + 8 y (4 x) + 8 y \cdot 4 - 6 x^{2} - 6 (4 x) - 6 \cdot 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Schritt 6.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.5.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.5.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$(4 (x^{2} x) y + 4 x y (4 x) + 4 x y \cdot 4 + 8 y x^{2} + 8 y (4 x) + 8 y \cdot 4 - 6 x^{2} - 6 (4 x) - 6 \cdot 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Schritt 6.5.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 6.5.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(4 (x^{2} x^{1}) y + 4 x y (4 x) + 4 x y \cdot 4 + 8 y x^{2} + 8 y (4 x) + 8 y \cdot 4 - 6 x^{2} - 6 (4 x) - 6 \cdot 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Schritt 6.5.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(4 x^{2 + 1} y + 4 x y (4 x) + 4 x y \cdot 4 + 8 y x^{2} + 8 y (4 x) + 8 y \cdot 4 - 6 x^{2} - 6 (4 x) - 6 \cdot 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Schritt 6.5.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$(4 x^{3} y + 4 x y (4 x) + 4 x y \cdot 4 + 8 y x^{2} + 8 y (4 x) + 8 y \cdot 4 - 6 x^{2} - 6 (4 x) - 6 \cdot 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Schritt 6.5.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.5.2.1

Bewege $x$ .

$(4 x^{3} y + 4 (x \cdot x) y \cdot 4 + 4 x y \cdot 4 + 8 y x^{2} + 8 y (4 x) + 8 y \cdot 4 - 6 x^{2} - 6 (4 x) - 6 \cdot 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Schritt 6.5.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(4 x^{3} y + 4 x^{2} y \cdot 4 + 4 x y \cdot 4 + 8 y x^{2} + 8 y (4 x) + 8 y \cdot 4 - 6 x^{2} - 6 (4 x) - 6 \cdot 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Schritt 6.5.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$(4 x^{3} y + 16 x^{2} y + 4 x y \cdot 4 + 8 y x^{2} + 8 y (4 x) + 8 y \cdot 4 - 6 x^{2} - 6 (4 x) - 6 \cdot 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Schritt 6.5.4

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$(4 x^{3} y + 16 x^{2} y + 16 x y + 8 y x^{2} + 8 y (4 x) + 8 y \cdot 4 - 6 x^{2} - 6 (4 x) - 6 \cdot 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Schritt 6.5.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(4 x^{3} y + 16 x^{2} y + 16 x y + 8 y x^{2} + 8 \cdot 4 y x + 8 y \cdot 4 - 6 x^{2} - 6 (4 x) - 6 \cdot 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Schritt 6.5.6

Mutltipliziere $8$ mit $4$ .

$(4 x^{3} y + 16 x^{2} y + 16 x y + 8 y x^{2} + 32 y x + 8 y \cdot 4 - 6 x^{2} - 6 (4 x) - 6 \cdot 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Schritt 6.5.7

Mutltipliziere $4$ mit $8$ .

$(4 x^{3} y + 16 x^{2} y + 16 x y + 8 y x^{2} + 32 y x + 32 y - 6 x^{2} - 6 (4 x) - 6 \cdot 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Schritt 6.5.8

Mutltipliziere $4$ mit $- 6$ .

$(4 x^{3} y + 16 x^{2} y + 16 x y + 8 y x^{2} + 32 y x + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 6 \cdot 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Schritt 6.5.9

Mutltipliziere $- 6$ mit $4$ .

$(4 x^{3} y + 16 x^{2} y + 16 x y + 8 y x^{2} + 32 y x + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Schritt 6.6

Addiere $16 x^{2} y$ und $8 y x^{2}$ .

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Schritt 6.6.1

Bewege $y$ .

$(4 x^{3} y + 16 x^{2} y + 8 x^{2} y + 16 x y + 32 y x + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Schritt 6.6.2

Addiere $16 x^{2} y$ und $8 x^{2} y$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 16 x y + 32 y x + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Schritt 6.7

Addiere $16 x y$ und $32 y x$ .

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Schritt 6.7.1

Bewege $y$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 16 x y + 32 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Schritt 6.7.2

Addiere $16 x y$ und $32 x y$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Schritt 6.8

Mutltipliziere ${(x + 2)}^{2}$ mit $x^{2} + 4 x + 4$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + {(x + 2)}^{2} (x^{2} + 4 x + 4) d y = 0$

Schritt 6.9

Schreibe ${(x + 2)}^{2}$ als $(x + 2) (x + 2)$ um.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x + 2) (x + 2) (x^{2} + 4 x + 4) d y = 0$

Schritt 6.10

Multipliziere $(x + 2) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x (x + 2) + 2 (x + 2)) (x^{2} + 4 x + 4) d y = 0$

Schritt 6.10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) (x^{2} + 4 x + 4) d y = 0$

Schritt 6.10.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) (x^{2} + 4 x + 4) d y = 0$

Schritt 6.11

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.11.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) (x^{2} + 4 x + 4) d y = 0$

Schritt 6.11.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2) (x^{2} + 4 x + 4) d y = 0$

Schritt 6.11.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{2} + 2 x + 2 x + 4) (x^{2} + 4 x + 4) d y = 0$

Schritt 6.11.2

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{2} + 4 x + 4) (x^{2} + 4 x + 4) d y = 0$

Schritt 6.12

Multipliziere $(x^{2} + 4 x + 4) (x^{2} + 4 x + 4)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{2} x^{2} + x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot 4 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

Schritt 6.13

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.13.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.13.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{2 + 2} + x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot 4 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

Schritt 6.13.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot 4 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

Schritt 6.13.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{2} x + x^{2} \cdot 4 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

Schritt 6.13.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.13.3.1

Bewege $x$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 4 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

Schritt 6.13.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 6.13.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 4 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

Schritt 6.13.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 4 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

Schritt 6.13.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{3} + x^{2} \cdot 4 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

Schritt 6.13.4

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{3} + 4 \cdot x^{2} + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

Schritt 6.13.5

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.13.5.1

Bewege $x^{2}$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 (x^{2} x) + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

Schritt 6.13.5.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 6.13.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 (x^{2} x^{1}) + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

Schritt 6.13.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x^{2 + 1} + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

Schritt 6.13.5.3

Addiere $2$ und $1$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x^{3} + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

Schritt 6.13.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x^{3} + 4 \cdot 4 x \cdot x + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

Schritt 6.13.7

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.13.7.1

Bewege $x$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x^{3} + 4 \cdot 4 (x \cdot x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

Schritt 6.13.7.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x^{3} + 4 \cdot 4 x^{2} + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

Schritt 6.13.8

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x^{3} + 16 x^{2} + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

Schritt 6.13.9

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x^{3} + 16 x^{2} + 16 x + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

Schritt 6.13.10

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x^{3} + 16 x^{2} + 16 x + 4 x^{2} + 16 x + 4 \cdot 4) d y = 0$

Schritt 6.13.11

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x^{3} + 16 x^{2} + 16 x + 4 x^{2} + 16 x + 16) d y = 0$

Schritt 6.14

Addiere $4 x^{3}$ und $4 x^{3}$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 8 x^{3} + 4 x^{2} + 16 x^{2} + 16 x + 4 x^{2} + 16 x + 16) d y = 0$

Schritt 6.15

Addiere $4 x^{2}$ und $16 x^{2}$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 8 x^{3} + 20 x^{2} + 16 x + 4 x^{2} + 16 x + 16) d y = 0$

Schritt 6.16

Addiere $20 x^{2}$ und $4 x^{2}$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 16 x + 16 x + 16) d y = 0$

Schritt 6.17

Addiere $16 x$ und $16 x$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16) d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16 d y$

Schritt 8

Integriere $N (x, y) = x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = (x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16) y + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = (x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16) y + g (x)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16) y + g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $(x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16) y + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [(x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d x} [(x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16) y]$ .

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Schritt 11.3.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $(x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16) y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Schritt 11.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$y (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x] + \frac{d}{d x} [16]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Schritt 11.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$y (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x] + \frac{d}{d x} [16]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Schritt 11.3.4

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x^{3}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$y (4 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x] + \frac{d}{d x} [16]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Schritt 11.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$y (4 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x] + \frac{d}{d x} [16]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Schritt 11.3.6

Da $24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $24 x^{2}$ nach $x$ gleich $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y (4 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + 24 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x] + \frac{d}{d x} [16]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Schritt 11.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$y (4 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + 24 (2 x) + \frac{d}{d x} [32 x] + \frac{d}{d x} [16]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Schritt 11.3.8

Da $32$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $32 x$ nach $x$ gleich $32 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y (4 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + 24 (2 x) + 32 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Schritt 11.3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y (4 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + 24 (2 x) + 32 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Schritt 11.3.10

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$y (4 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + 24 (2 x) + 32 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Schritt 11.3.11

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$y (4 x^{3} + 24 x^{2} + 24 (2 x) + 32 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Schritt 11.3.12

Mutltipliziere $2$ mit $24$ .

$y (4 x^{3} + 24 x^{2} + 48 x + 32 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Schritt 11.3.13

Mutltipliziere $32$ mit $1$ .

$y (4 x^{3} + 24 x^{2} + 48 x + 32 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Schritt 11.3.14

Addiere $4 x^{3} + 24 x^{2} + 48 x + 32$ und $0$ .

$y (4 x^{3} + 24 x^{2} + 48 x + 32) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Schritt 11.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$y (4 x^{3} + 24 x^{2} + 48 x + 32) + \frac{d g}{d x} = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Schritt 11.5

Vereinfache.

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Schritt 11.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y (4 x^{3}) + y (24 x^{2}) + y (48 x) + y \cdot 32 + \frac{d g}{d x} = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Schritt 11.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 11.5.2.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $y$ .

$4 \cdot y x^{3} + y (24 x^{2}) + y (48 x) + y \cdot 32 + \frac{d g}{d x} = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Schritt 11.5.2.2

Bringe $24$ auf die linke Seite von $y$ .

$4 y x^{3} + 24 \cdot y x^{2} + y (48 x) + y \cdot 32 + \frac{d g}{d x} = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Schritt 11.5.2.3

Bringe $48$ auf die linke Seite von $y$ .

$4 y x^{3} + 24 y x^{2} + 48 \cdot y x + y \cdot 32 + \frac{d g}{d x} = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Schritt 11.5.2.4

Bringe $32$ auf die linke Seite von $y$ .

$4 y x^{3} + 24 y x^{2} + 48 y x + 32 y + \frac{d g}{d x} = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Schritt 11.5.3

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 12.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 12.1.1

Subtrahiere $4 x^{3} y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24 - 4 x^{3} y$

Schritt 12.1.2

Subtrahiere $24 x^{2} y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} + 48 x y + 32 y = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24 - 4 x^{3} y - 24 x^{2} y$

Schritt 12.1.3

Subtrahiere $48 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} + 32 y = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24 - 4 x^{3} y - 24 x^{2} y - 48 x y$

Schritt 12.1.4

Subtrahiere $32 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24 - 4 x^{3} y - 24 x^{2} y - 48 x y - 32 y$

Schritt 12.1.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24 - 4 x^{3} y - 24 x^{2} y - 48 x y - 32 y$ .

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Schritt 12.1.5.1

Subtrahiere $4 x^{3} y$ von $4 x^{3} y$ .

$\frac{d g}{d x} = 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24 + 0 - 24 x^{2} y - 48 x y - 32 y$

Schritt 12.1.5.2

Addiere $24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24 - 24 x^{2} y - 48 x y - 32 y$

Schritt 12.1.5.3

Subtrahiere $24 x^{2} y$ von $24 x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} = 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24 + 0 - 48 x y - 32 y$

Schritt 12.1.5.4

Addiere $48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24 - 48 x y - 32 y$

Schritt 12.1.5.5

Subtrahiere $48 x y$ von $48 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24 + 0 - 32 y$

Schritt 12.1.5.6

Addiere $32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24 - 32 y$

Schritt 12.1.5.7

Subtrahiere $32 y$ von $32 y$ .

$\frac{d g}{d x} = - 6 x^{2} - 24 x - 24 + 0$

Schritt 12.1.5.8

Addiere $- 6 x^{2} - 24 x - 24$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $- 6 x^{2} - 24 x - 24$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = - 6 x^{2} - 24 x - 24$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - 6 x^{2} - 24 x - 24 d x$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - 6 x^{2} - 24 x - 24 d x$

Schritt 13.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$g (x) = \int - 6 x^{2} d x + \int - 24 x d x + \int - 24 d x$

Schritt 13.4

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 6$ aus dem Integral.

$g (x) = - 6 \int x^{2} d x + \int - 24 x d x + \int - 24 d x$

Schritt 13.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = - 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 24 x d x + \int - 24 d x$

Schritt 13.6

Da $- 24$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 24$ aus dem Integral.

$g (x) = - 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 24 \int x d x + \int - 24 d x$

Schritt 13.7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = - 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 24 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 24 d x$

Schritt 13.8

Wende die Konstantenregel an.

$g (x) = - 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 24 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 24 x + C$

Schritt 13.9

Vereinfache.

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Schritt 13.9.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$g (x) = - 6 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 24 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 24 x + C$

Schritt 13.9.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$g (x) = - 6 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 24 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 24 x + C$

Schritt 13.10

Vereinfache.

$g (x) = - 2 x^{3} - 12 x^{2} - 24 x + C$

Schritt 14

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = (x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16) y + g (x)$ ein.

$f (x, y) = (x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16) y - 2 x^{3} - 12 x^{2} - 24 x + C$

Schritt 15

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x, y) = x^{4} y + 8 x^{3} y + 24 x^{2} y + 32 x y + 16 y - 2 x^{3} - 12 x^{2} - 24 x + C$