Analysis Beispiele

$x y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{3} - x^{3}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als eine Funktion von $\frac{y}{x}$ um.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $x y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{3} - x^{3}$ durch $x y^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Teile jeden Ausdruck in $x y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{3} - x^{3}$ durch $x y^{2}$ .

$\frac{x y^{2} \frac{d y}{d x}}{x y^{2}} = \frac{y^{3}}{x y^{2}} + \frac{- x^{3}}{x y^{2}}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y^{2} \frac{d y}{d x}}{x y^{2}} = \frac{y^{3}}{x y^{2}} + \frac{- x^{3}}{x y^{2}}$

Schritt 1.1.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{2} \frac{d y}{d x}}{y^{2}} = \frac{y^{3}}{x y^{2}} + \frac{- x^{3}}{x y^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2} \frac{d y}{d x}}{y^{2}} = \frac{y^{3}}{x y^{2}} + \frac{- x^{3}}{x y^{2}}$

Schritt 1.1.2.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{3}}{x y^{2}} + \frac{- x^{3}}{x y^{2}}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{3}$ und $y^{2}$ .

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Schritt 1.1.3.1.1.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{3}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} y}{x y^{2}} + \frac{- x^{3}}{x y^{2}}$

Schritt 1.1.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.3.1.1.2.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $x y^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} y}{y^{2} x} + \frac{- x^{3}}{x y^{2}}$

Schritt 1.1.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} y}{y^{2} x} + \frac{- x^{3}}{x y^{2}}$

Schritt 1.1.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{- x^{3}}{x y^{2}}$

Schritt 1.1.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x$ .

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Schritt 1.1.3.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $- x^{3}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x (- x^{2})}{x y^{2}}$

Schritt 1.1.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.3.1.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x y^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x (- x^{2})}{x (y^{2})}$

Schritt 1.1.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x (- x^{2})}{x y^{2}}$

Schritt 1.1.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{- x^{2}}{y^{2}}$

Schritt 1.1.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} - \frac{x^{2}}{y^{2}}$

Schritt 1.2

Schreibe die Differentialgleichung als $f (\frac{y}{x})$ um.

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Schritt 1.2.1

Schreibe $\frac{x^{2}}{y^{2}}$ als ${(\frac{x}{y})}^{2}$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} - {(\frac{x}{y})}^{2}$

Schritt 1.2.2

Schreibe $\frac{x}{y}$ als ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} - {({(\frac{y}{x})}^{- 1})}^{2}$

Schritt 2

Es gilt $V = \frac{y}{x}$ . Ersetze $V$ für $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V - {(V^{- 1})}^{2}$

Schritt 3

Löse $V = \frac{y}{x}$ nach $y$ auf.

$y = V x$

Schritt 4

Verwende die Produktregel um die Ableitung von $y = V x$ nach $x$ zu finden.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Schritt 5

Ersetze $\frac{d y}{d x}$ durch $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V - {(V^{- 1})}^{2}$

Schritt 6

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 6.1

Separiere die Variablen.

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Schritt 6.1.1

Löse nach $\frac{d V}{d x}$ auf.

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Schritt 6.1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(V^{- 1})}^{2}$ .

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Schritt 6.1.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V - V^{- 1 \cdot 2}$

Schritt 6.1.1.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V - V^{- 2}$

Schritt 6.1.1.1.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V - \frac{1}{V^{2}}$

Schritt 6.1.1.2

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d V}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1.1.2.1

Subtrahiere $V$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \frac{d V}{d x} = V - \frac{1}{V^{2}} - V$

Schritt 6.1.1.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $V - \frac{1}{V^{2}} - V$ .

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Schritt 6.1.1.2.2.1

Subtrahiere $V$ von $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V^{2}} + 0$

Schritt 6.1.1.2.2.2

Addiere $- \frac{1}{V^{2}}$ und $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V^{2}}$

Schritt 6.1.1.3

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V^{2}}$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 6.1.1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V^{2}}$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- \frac{1}{V^{2}}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.1.1.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- \frac{1}{V^{2}}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.2.1.2

Dividiere $\frac{d V}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{V^{2}}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1.1.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{1}{V^{2}}$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x V^{2}}$

Schritt 6.1.2

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{V^{2}}$

Schritt 6.1.3

Multipliziere beide Seiten mit $V^{2}$ .

$V^{2} \frac{d V}{d x} = V^{2} (- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{V^{2}})$

Schritt 6.1.4

Vereinfache.

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Schritt 6.1.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$V^{2} \frac{d V}{d x} = - V^{2} (\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{V^{2}})$

Schritt 6.1.4.2

Kombinieren.

$V^{2} \frac{d V}{d x} = - V^{2} \frac{1 \cdot 1}{x V^{2}}$

Schritt 6.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $V^{2}$ .

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Schritt 6.1.4.3.1

Faktorisiere $V^{2}$ aus $- V^{2}$ heraus.

$V^{2} \frac{d V}{d x} = V^{2} \cdot - 1 \frac{1 \cdot 1}{x V^{2}}$

Schritt 6.1.4.3.2

Faktorisiere $V^{2}$ aus $x V^{2}$ heraus.

$V^{2} \frac{d V}{d x} = V^{2} \cdot - 1 \frac{1 \cdot 1}{V^{2} x}$

Schritt 6.1.4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V^{2} \frac{d V}{d x} = V^{2} \cdot - 1 \frac{1 \cdot 1}{V^{2} x}$

Schritt 6.1.4.3.4

Forme den Ausdruck um.

$V^{2} \frac{d V}{d x} = - \frac{1 \cdot 1}{x}$

Schritt 6.1.4.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$V^{2} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.5

Schreibe die Gleichung um.

$V^{2} d V = - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 6.2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int V^{2} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $V^{2}$ nach $V$ gleich $\frac{1}{3} V^{3}$ .

$\frac{1}{3} V^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} V^{3} + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.3.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3} V^{3} + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Schritt 6.2.3.3

Vereinfache.

$\frac{1}{3} V^{3} + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 6.2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{3} V^{3} = - \ln (| x |) + C$

Schritt 6.3

Löse nach $V$ auf.

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Schritt 6.3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 (\frac{1}{3} V^{3}) = 3 (- \ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 6.3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1.1

Vereinfache $3 (\frac{1}{3} V^{3})$ .

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Schritt 6.3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $V^{3}$ .

$3 \frac{V^{3}}{3} = 3 (- \ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{V^{3}}{3} = 3 (- \ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$V^{3} = 3 (- \ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.2.1

Vereinfache $3 (- \ln (| x |) + C)$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$V^{3} = 3 (- \ln (| x |)) + 3 C$

Schritt 6.3.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$V^{3} = - 3 \ln (| x |) + 3 C$

Schritt 6.3.3

Vereinfache $- 3 \ln (| x |)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$V^{3} = - \ln ({| x |}^{3}) + 3 C$

Schritt 6.3.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$V = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{3}) + 3 C}$

Schritt 6.4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$V = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{3}) + C}$

Schritt 7

Ersetze $V$ durch $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{3}) + C}$

Schritt 8

Löse $\frac{y}{x} = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{3}) + C}$ nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$\frac{y}{x} x = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{3}) + C} x$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x} x = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{3}) + C} x$

Schritt 8.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{3}) + C} x$