Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d t} = k \sqrt{t}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = k \sqrt{t} d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int k \sqrt{t} d t$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int k \sqrt{t} d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $k$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $k$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = k \int \sqrt{t} d t$

Schritt 2.3.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{t}$ als $t^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y + C_{1} = k \int t^{\frac{1}{2}} d t$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{\frac{1}{2}}$ nach $t$ gleich $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = k (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

Schritt 2.3.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.4.1

Schreibe $k (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ als $k \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ um.

$y + C_{1} = k \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.4.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.4.2.1

Kombiniere $k$ und $\frac{2}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{k \cdot 2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.4.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $k$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot k}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.4.2.3

Kombiniere $\frac{2 k}{3}$ und $t^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 k t^{\frac{3}{2}}}{3} + C_{2}$

$y + C_{1} = \frac{2}{3} k t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.5

Stelle die Terme um.

$y + C_{1} = \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} k + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} k + K$