Analysis Beispiele

$(1 + y^{2} + x y^{2}) d x + (x^{2} y + y + 2 x y) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 1 + y^{2} + x y^{2}$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1 + y^{2} + x y^{2}]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + y^{2} + x y^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x y^{2}]$

Schritt 1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x y^{2}]$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + \frac{d}{d y} [x y^{2}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [x y^{2}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x y^{2}$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + x \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + x (2 y)$

Schritt 1.3.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + 2 x y$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Addiere $0$ und $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 2 x y$

Schritt 1.4.2

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 2 y$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x^{2} y + y + 2 x y$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y + y + 2 x y]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} y + y + 2 x y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x^{2} y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Schritt 2.3.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Schritt 2.4

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 0 + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Schritt 2.5

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

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Schritt 2.5.1

Da $2 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x y$ nach $x$ gleich $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 0 + 2 y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 0 + 2 y \cdot 1$

Schritt 2.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 0 + 2 y$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Addiere $2 y x$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 2 y$

Schritt 2.6.2

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y + 2 y$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $2 x y + 2 y$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $2 x y + 2 y$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$2 x y + 2 y = 2 x y + 2 y$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$2 x y + 2 y = 2 x y + 2 y$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 1 + y^{2} + x y^{2} d x$

Schritt 5

Integriere $M (x, y) = 1 + y^{2} + x y^{2}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 5.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int d x + \int y^{2} d x + \int x y^{2} d x$

Schritt 5.2

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = x + C + \int y^{2} d x + \int x y^{2} d x$

Schritt 5.3

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = x + C + y^{2} x + C + \int x y^{2} d x$

Schritt 5.4

Da $y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $y^{2}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = x + C + y^{2} x + C + y^{2} \int x d x$

Schritt 5.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = x + C + y^{2} x + C + y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 5.6

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$f (x, y) = x + C + y^{2} x + C + y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + C)$

Schritt 5.7

Vereinfache.

$f (x, y) = x + y^{2} x + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + C$

Schritt 5.8

Stelle die Terme um.

$f (x, y) = x + y^{2} x + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = x + y^{2} x + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{2} y + y + 2 x y$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [x + y^{2} x + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

Schritt 8.2

Differenziere.

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Schritt 8.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + y^{2} x + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

Schritt 8.2.2

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d y} [y^{2} x]$ .

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Schritt 8.3.1

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $y^{2} x$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 + x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

Schritt 8.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + x (2 y) + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

Schritt 8.3.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$0 + 2 x y + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

Schritt 8.4

Berechne $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}]$ .

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Schritt 8.4.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$0 + 2 x y + \frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

Schritt 8.4.2

Kombiniere $\frac{y^{2}}{2}$ und $x^{2}$ .

$0 + 2 x y + \frac{d}{d y} [\frac{y^{2} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

Schritt 8.4.3

Da $\frac{x^{2}}{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{y^{2} x^{2}}{2}$ nach $y$ gleich $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 + 2 x y + \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

Schritt 8.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 2 x y + \frac{x^{2}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

Schritt 8.4.5

Kombiniere $2$ und $\frac{x^{2}}{2}$ .

$0 + 2 x y + \frac{2 x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

Schritt 8.4.6

Kombiniere $\frac{2 x^{2}}{2}$ und $y$ .

$0 + 2 x y + \frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

Schritt 8.4.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.4.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 + 2 x y + \frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

Schritt 8.4.7.2

Dividiere $x^{2} y$ durch $1$ .

$0 + 2 x y + x^{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

Schritt 8.5

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$0 + 2 x y + x^{2} y + \frac{d g}{d y} = x^{2} y + y + 2 x y$

Schritt 8.6

Vereinfache.

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Schritt 8.6.1

Addiere $0$ und $2 x y$ .

$2 x y + x^{2} y + \frac{d g}{d y} = x^{2} y + y + 2 x y$

Schritt 8.6.2

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + 2 x y + x^{2} y = x^{2} y + y + 2 x y$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 9.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1.1

Subtrahiere $2 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = x^{2} y + y + 2 x y - 2 x y$

Schritt 9.1.2

Subtrahiere $x^{2} y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + y + 2 x y - 2 x y - x^{2} y$

Schritt 9.1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} y + y + 2 x y - 2 x y - x^{2} y$ .

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Schritt 9.1.3.1

Subtrahiere $2 x y$ von $2 x y$ .

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + y + 0 - x^{2} y$

Schritt 9.1.3.2

Addiere $x^{2} y + y$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + y - x^{2} y$

Schritt 9.1.3.3

Subtrahiere $x^{2} y$ von $x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = y + 0$

Schritt 9.1.3.4

Addiere $y$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $y$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y d y$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y d y$

Schritt 10.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} + C$

Schritt 11

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = x + y^{2} x + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ ein.

$f (x, y) = x + y^{2} x + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Schritt 12

Vereinfache $f (x, y) = x + y^{2} x + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

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Schritt 12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$f (x, y) = x + y^{2} x + \frac{y^{2}}{2} x^{2} + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Schritt 12.1.2

Kombiniere $\frac{y^{2}}{2}$ und $x^{2}$ .

$f (x, y) = x + y^{2} x + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Schritt 12.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$f (x, y) = x + y^{2} x + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{2} + C$

Schritt 12.2

Addiere $y^{2} x$ und $\frac{y^{2}}{2}$ .

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Schritt 12.2.1

Stelle $y^{2}$ und $x$ um.

$f (x, y) = x + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + x y^{2} + \frac{y^{2}}{2} + C$

Schritt 12.2.2

Um $x y^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = x + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + x y^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{y^{2}}{2} + C$

Schritt 12.2.3

Kombiniere $x y^{2}$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = x + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{x y^{2} \cdot 2}{2} + \frac{y^{2}}{2} + C$

Schritt 12.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (x, y) = x + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{x y^{2} \cdot 2 + y^{2}}{2} + C$

Schritt 12.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.3.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $x y^{2} \cdot 2 + y^{2}$ heraus.

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Schritt 12.3.1.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $x y^{2} \cdot 2$ heraus.

$f (x, y) = x + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{y^{2} (x \cdot 2) + y^{2}}{2} + C$

Schritt 12.3.1.2

Multipliziere mit $1$ .

$f (x, y) = x + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{y^{2} (x \cdot 2) + y^{2} \cdot 1}{2} + C$

Schritt 12.3.1.3

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{2} (x \cdot 2) + y^{2} \cdot 1$ heraus.

$f (x, y) = x + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{y^{2} (x \cdot 2 + 1)}{2} + C$

Schritt 12.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$f (x, y) = x + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{y^{2} (2 x + 1)}{2} + C$

Schritt 12.4

Um $x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + x \cdot \frac{2}{2} + \frac{y^{2} (2 x + 1)}{2} + C$

Schritt 12.5

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{x \cdot 2}{2} + \frac{y^{2} (2 x + 1)}{2} + C$

Schritt 12.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{x \cdot 2 + y^{2} (2 x + 1)}{2} + C$

Schritt 12.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.7.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot x + y^{2} (2 x + 1)}{2} + C$

Schritt 12.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{2 x + y^{2} (2 x) + y^{2} \cdot 1}{2} + C$

Schritt 12.7.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{2 x + 2 y^{2} x + y^{2} \cdot 1}{2} + C$

Schritt 12.7.4

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{2 x + 2 y^{2} x + y^{2}}{2} + C$

Schritt 12.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2} + 2 x + 2 y^{2} x + y^{2}}{2} + C$