Analysis Beispiele

$(x^{2} - 9) d y - x y d x = 0$

Schritt 1

Addiere $x y d x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$(x^{2} - 9) d y = x y d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{(x^{2} - 9) y}$ .

$\frac{1}{(x^{2} - 9) y} (x^{2} - 9) d y = \frac{1}{(x^{2} - 9) y} (x y) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} - 9$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $x^{2} - 9$ aus $(x^{2} - 9) y$ heraus.

$\frac{1}{(x^{2} - 9) (y)} (x^{2} - 9) d y = \frac{1}{(x^{2} - 9) y} (x y) d x$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{(x^{2} - 9) y} (x^{2} - 9) d y = \frac{1}{(x^{2} - 9) y} (x y) d x$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(x^{2} - 9) y} (x y) d x$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $y$ aus $(x^{2} - 9) y$ heraus.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (x^{2} - 9)} (x y) d x$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $y$ aus $x y$ heraus.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (x^{2} - 9)} (y x) d x$

Schritt 3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (x^{2} - 9)} (y x) d x$

Schritt 3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{x^{2} - 9} x d x$

Schritt 3.3

Kombiniere $\frac{1}{x^{2} - 9}$ und $x$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{x}{x^{2} - 9} d x$

Schritt 3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{x}{x^{2} - 3^{2}} d x$

Schritt 3.4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

Schritt 4.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Sei $u = (x + 3) (x - 3)$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.3.1.1

Es sei $u = (x + 3) (x - 3)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.3.1.1.1

Differenziere $(x + 3) (x - 3)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 3)]$

Schritt 4.3.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x + 3$ und $g (x) = x - 3$ .

$(x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3] + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

Schritt 4.3.1.1.3

Differenziere.

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Schritt 4.3.1.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$(x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

Schritt 4.3.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

Schritt 4.3.1.1.3.3

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x + 3) (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

Schritt 4.3.1.1.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.1.1.3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$(x + 3) \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

Schritt 4.3.1.1.3.4.2

Mutltipliziere $x + 3$ mit $1$ .

$x + 3 + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

Schritt 4.3.1.1.3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$x + 3 + (x - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 4.3.1.1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x + 3 + (x - 3) (1 + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 4.3.1.1.3.7

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x + 3 + (x - 3) (1 + 0)$

Schritt 4.3.1.1.3.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.3.1.1.3.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$x + 3 + (x - 3) \cdot 1$

Schritt 4.3.1.1.3.8.2

Mutltipliziere $x - 3$ mit $1$ .

$x + 3 + x - 3$

Schritt 4.3.1.1.3.8.3

Addiere $x$ und $x$ .

$2 x + 3 - 3$

Schritt 4.3.1.1.3.8.4

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 4.3.1.1.3.8.4.1

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$2 x + 0$

Schritt 4.3.1.1.3.8.4.2

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 4.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 4.3.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Schritt 4.3.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u} d u$

Schritt 4.3.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 4.3.4

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Schritt 4.3.5

Vereinfache.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Schritt 4.3.6

Ersetze alle $u$ durch $(x + 3) (x - 3)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| (x + 3) (x - 3) |) + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = \frac{1}{2} \ln (| (x + 3) (x - 3) |) + C$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (| (x + 3) (x - 3) |)$ .

$\ln (| y |) = \frac{\ln (| (x + 3) (x - 3) |)}{2} + C$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| (x + 3) (x - 3) |)}{2} = C$

Schritt 5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.1

Multipliziere $(x + 3) (x - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x (x - 3) + 3 (x - 3) |)}{2} = C$

Schritt 5.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3) |)}{2} = C$

Schritt 5.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3 |)}{2} = C$

Schritt 5.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ .

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Schritt 5.3.2.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot - 3$ und $3 x$ neu an.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3 |)}{2} = C$

Schritt 5.3.2.2

Addiere $- 3 x$ und $3 x$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3 |)}{2} = C$

Schritt 5.3.2.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x \cdot x + 3 \cdot - 3 |)}{2} = C$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x^{2} + 3 \cdot - 3 |)}{2} = C$

Schritt 5.3.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Schritt 5.4

Um $\ln (| y |)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y |) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Schritt 5.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.5.1

Kombiniere $\ln (| y |)$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Schritt 5.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2 - \ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Schritt 5.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\ln (| y |)$ .

$\frac{2 \ln (| y |) - \ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Schritt 5.7

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.7.1

Vereinfache $\frac{2 \ln (| y |) - \ln (| x^{2} - 9 |)}{2}$ .

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Schritt 5.7.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.7.1.1.1

Vereinfache $2 \ln (| y |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{\ln ({| y |}^{2}) - \ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Schritt 5.7.1.1.2

Entferne den Absolutwert in ${| y |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$\frac{\ln (y^{2}) - \ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Schritt 5.7.1.1.3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} - 9 |})}{2} = C$

Schritt 5.7.1.1.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.7.1.1.4.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} - 3^{2} |})}{2} = C$

Schritt 5.7.1.1.4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| (x + 3) (x - 3) |})}{2} = C$

Schritt 5.7.1.1.4.3

Multipliziere $(x + 3) (x - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.7.1.1.4.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x (x - 3) + 3 (x - 3) |})}{2} = C$

Schritt 5.7.1.1.4.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3) |})}{2} = C$

Schritt 5.7.1.1.4.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3 |})}{2} = C$

Schritt 5.7.1.1.4.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ .

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Schritt 5.7.1.1.4.4.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot - 3$ und $3 x$ neu an.

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3 |})}{2} = C$

Schritt 5.7.1.1.4.4.2

Addiere $- 3 x$ und $3 x$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3 |})}{2} = C$

Schritt 5.7.1.1.4.4.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x \cdot x + 3 \cdot - 3 |})}{2} = C$

Schritt 5.7.1.1.4.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.7.1.1.4.5.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} + 3 \cdot - 3 |})}{2} = C$

Schritt 5.7.1.1.4.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} - 9 |})}{2} = C$

Schritt 5.7.1.1.4.6

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} - 3^{2} |})}{2} = C$

Schritt 5.7.1.1.4.7

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| (x + 3) (x - 3) |})}{2} = C$

Schritt 5.7.1.2

Schreibe $\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| (x + 3) (x - 3) |})}{2}$ als $\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{| (x + 3) (x - 3) |})$ um.

$\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{| (x + 3) (x - 3) |}) = C$

Schritt 5.7.1.3

Vereinfache $\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{| (x + 3) (x - 3) |})$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln ({(\frac{y^{2}}{| (x + 3) (x - 3) |})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Schritt 5.7.1.4

Wende die Produktregel auf $\frac{y^{2}}{| (x + 3) (x - 3) |}$ an.

$\ln (\frac{{(y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{| (x + 3) (x - 3) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 5.7.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.7.1.5.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 5.7.1.5.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{y^{2 (\frac{1}{2})}}{{| (x + 3) (x - 3) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 5.7.1.5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.7.1.5.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{y^{2 (\frac{1}{2})}}{{| (x + 3) (x - 3) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 5.7.1.5.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (\frac{y^{1}}{{| (x + 3) (x - 3) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 5.7.1.5.2

Vereinfache.

$\ln (\frac{y}{{| (x + 3) (x - 3) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 5.7.1.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.7.1.6.1

Multipliziere $(x + 3) (x - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.7.1.6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (\frac{y}{{| x (x - 3) + 3 (x - 3) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 5.7.1.6.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (\frac{y}{{| x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 5.7.1.6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (\frac{y}{{| x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 5.7.1.6.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ .

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Schritt 5.7.1.6.2.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot - 3$ und $3 x$ neu an.

$\ln (\frac{y}{{| x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 5.7.1.6.2.2

Addiere $- 3 x$ und $3 x$ .

$\ln (\frac{y}{{| x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 5.7.1.6.2.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

$\ln (\frac{y}{{| x \cdot x + 3 \cdot - 3 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 5.7.1.6.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.7.1.6.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\ln (\frac{y}{{| x^{2} + 3 \cdot - 3 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 5.7.1.6.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$\ln (\frac{y}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 5.8

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{y}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}})} = e^{C}$

Schritt 5.9

Schreibe $\ln (\frac{y}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{y}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.10

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.10.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{y}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$ um.

$\frac{y}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$

Schritt 5.10.2

Multipliziere beide Seiten mit ${| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}} {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.10.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.10.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 5.10.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}} {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.10.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = e^{C} {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = C {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}$