Analysis Beispiele

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 3 x^{2}$

Schritt 1

Prüfe, ob die linke Seite der Gleichung das Ergebnis der Ableitung des Ausdrucks $x^{2} y$ ist.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x)$

Schritt 1.4

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

Schritt 1.5

Entferne die Klammern.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y \cdot 2 x$

Schritt 1.6

Bewege $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y$

Schritt 2

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = 3 x^{2}$

Schritt 3

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int 3 x^{2} d x$

Schritt 4

Integriere die linke Seite.

$x^{2} y = \int 3 x^{2} d x$

Schritt 5

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 5.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$x^{2} y = 3 \int x^{2} d x$

Schritt 5.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x^{2} y = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Schritt 5.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.3.1

Schreibe $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ als $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ um.

$x^{2} y = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Schritt 5.3.2

Vereinfache.

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Schritt 5.3.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$x^{2} y = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} y = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Schritt 5.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} y = 1 x^{3} + C$

Schritt 5.3.2.3

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $1$ .

$x^{2} y = x^{3} + C$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} y = x^{3} + C$ durch $x^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} y = x^{3} + C$ durch $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x^{2}$ .

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Schritt 6.3.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$y = \frac{x^{2} x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 6.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.1.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$y = \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 6.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 6.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x}{1} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 6.3.1.2.4

Dividiere $x$ durch $1$ .

$y = x + \frac{C}{x^{2}}$