Analysis Beispiele

$x \frac{d y}{d x} + 9 y + 6 = 6 x^{2} + \frac{d y}{d x} + 8 y$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $8 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \frac{d y}{d x} + 9 y + 6 - 8 y = 6 x^{2} + \frac{d y}{d x}$

Schritt 1.2

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \frac{d y}{d x} + 9 y - 8 y = 6 x^{2} + \frac{d y}{d x} - 6$

Schritt 1.3

Subtrahiere $8 y$ von $9 y$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = 6 x^{2} + \frac{d y}{d x} - 6$

Schritt 1.4

Stelle die Terme um.

$x \frac{d y}{d x} + y = \frac{d y}{d x} + 6 x^{2} - 6$

Schritt 2

Prüfe, ob die linke Seite der Gleichung das Ergebnis der Ableitung des Ausdrucks $x y$ ist.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Schritt 2.4

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Schritt 2.5

Stelle $y$ und $1$ um.

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [x y] = \frac{d y}{d x} + 6 x^{2} - 6$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int \frac{d y}{d x} + 6 x^{2} - 6 d x$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$x y = \int \frac{d y}{d x} + 6 x^{2} - 6 d x$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$x y = \int \frac{d y}{d x} d x + \int 6 x^{2} d x + \int - 6 d x$

Schritt 6.2

Wende die Konstantenregel an.

$x y = \frac{d y}{d x} x + C + \int 6 x^{2} d x + \int - 6 d x$

Schritt 6.3

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$x y = \frac{d y}{d x} x + C + 6 \int x^{2} d x + \int - 6 d x$

Schritt 6.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x y = \frac{d y}{d x} x + C + 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 6 d x$

Schritt 6.5

Wende die Konstantenregel an.

$x y = \frac{d y}{d x} x + C + 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 6 x + C$

Schritt 6.6

Vereinfache.

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Schritt 6.6.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$x y = \frac{d y}{d x} x + C + 6 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 6 x + C$

Schritt 6.6.2

Vereinfache.

$x y = \frac{d y}{d x} x + 2 x^{3} - 6 x + C$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $x y = \frac{d y}{d x} x + 2 x^{3} - 6 x + C$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $x y = \frac{d y}{d x} x + 2 x^{3} - 6 x + C$ durch $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{d y}{d x} x}{x} + \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{d y}{d x} x}{x} + \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\frac{d y}{d x} x}{x} + \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 7.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\frac{d y}{d x} x}{x} + \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 7.3.1.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$y = \frac{d y}{d x} + \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 7.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x$ .

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Schritt 7.3.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$y = \frac{d y}{d x} + \frac{x (2 x^{2})}{x} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 7.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.1.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y = \frac{d y}{d x} + \frac{x (2 x^{2})}{x^{1}} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 7.3.1.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$y = \frac{d y}{d x} + \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 7.3.1.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{d y}{d x} + \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 7.3.1.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{d y}{d x} + \frac{2 x^{2}}{1} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 7.3.1.2.2.5

Dividiere $2 x^{2}$ durch $1$ .

$y = \frac{d y}{d x} + 2 x^{2} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 7.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 7.3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{d y}{d x} + 2 x^{2} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 7.3.1.3.2

Dividiere $- 6$ durch $1$ .

$y = \frac{d y}{d x} + 2 x^{2} - 6 + \frac{C}{x}$