Analysis Beispiele

$\frac{d x}{d t} - x = t + 1$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (t) d t}$ , wobei $P (t) = - 1$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int - 1 d t}$

Schritt 1.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{- t + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- t}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- t}$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- t}$ .

$e^{- t} \frac{d x}{d t} + e^{- t} (- x) = e^{- t} t + e^{- t} \cdot 1$

Schritt 2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{- t} \frac{d x}{d t} - e^{- t} x = e^{- t} t + e^{- t} \cdot 1$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $e^{- t}$ mit $1$ .

$e^{- t} \frac{d x}{d t} - e^{- t} x = e^{- t} t + e^{- t}$

Schritt 2.4

Stelle die Faktoren in $e^{- t} \frac{d x}{d t} - e^{- t} x = e^{- t} t + e^{- t}$ um.

$e^{- t} \frac{d x}{d t} - x e^{- t} = t e^{- t} + e^{- t}$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d t} [e^{- t} x] = t e^{- t} + e^{- t}$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d t} [e^{- t} x] d t = \int t e^{- t} + e^{- t} d t$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$e^{- t} x = \int t e^{- t} + e^{- t} d t$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$e^{- t} x = \int t e^{- t} d t + \int e^{- t} d t$

Schritt 6.2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = t$ und $d v = e^{- t}$ .

$e^{- t} x = t (- e^{- t}) - \int - e^{- t} d t + \int e^{- t} d t$

Schritt 6.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- t} x = t (- e^{- t}) - - \int e^{- t} d t + \int e^{- t} d t$

Schritt 6.4

Vereinfache.

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Schritt 6.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{- t} x = t (- e^{- t}) + 1 \int e^{- t} d t + \int e^{- t} d t$

Schritt 6.4.2

Mutltipliziere $\int e^{- t} d t$ mit $1$ .

$e^{- t} x = t (- e^{- t}) + \int e^{- t} d t + \int e^{- t} d t$

Schritt 6.5

Sei $u_{1} = - t$ . Dann ist $d u_{1} = - d t$ , folglich $- d u_{1} = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 6.5.1

Es sei $u_{1} = - t$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

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Schritt 6.5.1.1

Differenziere $- t$ .

$\frac{d}{d t} [- t]$

Schritt 6.5.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- t$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 6.5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 6.5.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 6.5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$e^{- t} x = t (- e^{- t}) + \int - e^{u_{1}} d u_{1} + \int e^{- t} d t$

Schritt 6.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- t} x = t (- e^{- t}) - \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int e^{- t} d t$

Schritt 6.7

Das Integral von $e^{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $e^{u_{1}}$ .

$e^{- t} x = t (- e^{- t}) - (e^{u_{1}} + C) + \int e^{- t} d t$

Schritt 6.8

Sei $u_{2} = - t$ . Dann ist $d u_{2} = - d t$ , folglich $- d u_{2} = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 6.8.1

Es sei $u_{2} = - t$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Schritt 6.8.1.1

Differenziere $- t$ .

$\frac{d}{d t} [- t]$

Schritt 6.8.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- t$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 6.8.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 6.8.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 6.8.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$e^{- t} x = t (- e^{- t}) - (e^{u_{1}} + C) + \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 6.9

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- t} x = t (- e^{- t}) - (e^{u_{1}} + C) - \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 6.10

Das Integral von $e^{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $e^{u_{2}}$ .

$e^{- t} x = t (- e^{- t}) - (e^{u_{1}} + C) - (e^{u_{2}} + C)$

Schritt 6.11

Vereinfache.

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Schritt 6.11.1

Vereinfache.

$e^{- t} x = - t e^{- t} - e^{u_{1}} - e^{u_{2}} + C$

Schritt 6.11.2

Subtrahiere $e^{u_{2}}$ von $- e^{u_{1}}$ .

$e^{- t} x = - t e^{- t} - 2 e^{u_{1}} + C$

Schritt 6.12

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- t$ .

$e^{- t} x = - t e^{- t} - 2 e^{- t} + C$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $e^{- t} x = - t e^{- t} - 2 e^{- t} + C$ durch $e^{- t}$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{- t} x = - t e^{- t} - 2 e^{- t} + C$ durch $e^{- t}$ .

$\frac{e^{- t} x}{e^{- t}} = \frac{- t e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{- 2 e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- t}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{- t} x}{e^{- t}} = \frac{- t e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{- 2 e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- t e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{- 2 e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- t}$ .

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Schritt 7.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{- t e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{- 2 e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Schritt 7.3.1.1.2

Dividiere $- t$ durch $1$ .

$x = - t + \frac{- 2 e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Schritt 7.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- t}$ .

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Schritt 7.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - t + \frac{- 2 e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Schritt 7.3.1.2.2

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$x = - t - 2 + \frac{C}{e^{- t}}$