Analysis Beispiele

$x y^{3} d x + (y + 1) e^{- x} d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $x y^{3} d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$(y + 1) e^{- x} d y = - x y^{3} d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{e^{- x} y^{3}}$ .

$\frac{1}{e^{- x} y^{3}} ((y + 1) e^{- x}) d y = \frac{1}{e^{- x} y^{3}} (- x y^{3}) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- x}$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $e^{- x}$ aus $e^{- x} y^{3}$ heraus.

$\frac{1}{e^{- x} (y^{3})} ((y + 1) e^{- x}) d y = \frac{1}{e^{- x} y^{3}} (- x y^{3}) d x$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $e^{- x}$ aus $(y + 1) e^{- x}$ heraus.

$\frac{1}{e^{- x} (y^{3})} (e^{- x} (y + 1)) d y = \frac{1}{e^{- x} y^{3}} (- x y^{3}) d x$

Schritt 3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{e^{- x} y^{3}} (e^{- x} (y + 1)) d y = \frac{1}{e^{- x} y^{3}} (- x y^{3}) d x$

Schritt 3.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y^{3}} (y + 1) d y = \frac{1}{e^{- x} y^{3}} (- x y^{3}) d x$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{y^{3}}$ mit $y + 1$ .

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = \frac{1}{e^{- x} y^{3}} (- x y^{3}) d x$

Schritt 3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = - \frac{1}{e^{- x} y^{3}} (x y^{3}) d x$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{3}$ .

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Schritt 3.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{e^{- x} y^{3}}$ in den Zähler.

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = \frac{- 1}{e^{- x} y^{3}} (x y^{3}) d x$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $y^{3}$ aus $e^{- x} y^{3}$ heraus.

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = \frac{- 1}{y^{3} e^{- x}} (x y^{3}) d x$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $y^{3}$ aus $x y^{3}$ heraus.

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = \frac{- 1}{y^{3} e^{- x}} (y^{3} x) d x$

Schritt 3.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = \frac{- 1}{y^{3} e^{- x}} (y^{3} x) d x$

Schritt 3.4.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = \frac{- 1}{e^{- x}} x d x$

Schritt 3.5

Kombiniere $\frac{- 1}{e^{- x}}$ und $x$ .

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = \frac{- x}{e^{- x}} d x$

Schritt 3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{y + 1}{y^{3}} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.2.1.1

Bringe $y^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (y + 1) {(y^{3})}^{- 1} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Schritt 4.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (y + 1) y^{3 \cdot - 1} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Schritt 4.2.1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\int (y + 1) y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Schritt 4.2.2

Multipliziere $(y + 1) y^{- 3}$ .

$\int y \cdot y^{- 3} + 1 y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Schritt 4.2.3

Vereinfache.

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Schritt 4.2.3.1

Multipliziere $y$ mit $y^{- 3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.3.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $y^{- 3}$ .

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Schritt 4.2.3.1.1.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\int y^{1} y^{- 3} + 1 y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Schritt 4.2.3.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int y^{1 - 3} + 1 y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Schritt 4.2.3.1.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\int y^{- 2} + 1 y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Schritt 4.2.3.2

Mutltipliziere $y^{- 3}$ mit $1$ .

$\int y^{- 2} + y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Schritt 4.2.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int y^{- 2} d y + \int y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Schritt 4.2.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- 2}$ nach $y$ gleich $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} + \int y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Schritt 4.2.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- 3}$ nach $y$ gleich $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} - \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{2} = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Schritt 4.2.7

Vereinfache.

$- \frac{1}{y} - \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{3} = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Schritt 4.2.8

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - \int \frac{x}{e^{- x}} d x$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.2.1

Kehre das Vorzeichen des Exponenten von $e^{- x}$ um und ziehe es aus dem Nenner heraus.

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - \int x {(e^{- x})}^{- 1} d x$

Schritt 4.3.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{- x})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.3.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - \int x e^{- x \cdot - 1} d x$

Schritt 4.3.2.2.2

Multipliziere $- x \cdot - 1$ .

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Schritt 4.3.2.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - \int x e^{1 x} d x$

Schritt 4.3.2.2.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - \int x e^{x} d x$

Schritt 4.3.3

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{x}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

Schritt 4.3.4

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - (x e^{x} - (e^{x} + C_{4}))$

Schritt 4.3.5

Vereinfache.

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - (x e^{x} - e^{x}) + C_{4}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} = - (x e^{x} - e^{x}) + K$